Es la planitud de espacio que una medida de la entropía?

Question

Esto es un poco peculiar: Por un tiempo muy largo he encontrado Stephen Hawking evaporación de pequeños agujeros negros mucho más razonable e intuitiva, que los grandes agujeros negros.

La razón principal es que la gravedad es relativa sólo si su gravedad vectores son todos paralelos. Cuando lo que es verdadero, usted puede simplemente acelerar junto con el terreno y perfectamente relativista marco va para ti.

No así si la gravedad de los vectores el ángulo en el uno hacia el otro, como es particularmente cierto para los muy pequeños agujeros negros. En ese caso la energía inherente en el espacio que rodea el agujero se hace muy real y muy caliente, y eso es independientemente de si usted tiene la materia en la mezcla o no. (Esperemos que eso es bastante intuitiva para todos en este grupo?)

Así que, ¿cómo puede el espacio que rodea un pequeño agujero negro no ser muy caliente? Por su geometría debe ser absolutamente llena de energía debido a la no-paralelo intersección de muy intensa gravedad de los vectores. Así, la idea de que la energía que evidencian sí mismo en la creación de la muy real de las partículas fuera del horizonte de sucesos parecen casi como una necesidad, una consecuencia directa de la estructura energética del propio espacio.

Así que, esa es realmente la base para mi pregunta: ¿no es la curvatura del espacio una mejor manera de entender su entropía sumando el área de la superficie de un agujero negro?

Centrándose en la curvatura, todo el espacio de la entropía, no sólo la peculiar variedad de espacio que se encuentra en el evento horizontes. Espacio plano maximiza la entropía, mientras que el increíblemente curva el espacio cerca de un agujero negro microscópico se maximiza. También me gusta esto porque si usted consigue abajo a la derecha, la entropía es realmente todo acerca de la suavidad, en múltiples formas.

Así: Es la inversa de la curvatura del espacio considerado un entropía métrica? Si no, ¿por qué no? Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Podemos asociar a algún grado de la curvatura de una solución a su entropía. La distancia Euclídea función de partición en la relatividad general se puede aproximar por

$$Z_{E} \approx \exp(-I_E)$$

donde $I_E$ es la distancia Euclídea de acción evaluados en todas las soluciones clásicas que tienen un periódico $\tau$ coordinar con el período de $\beta=1/k_BT$. La entropía del sistema está dada aproximadamente por

$$S = k_B \frac{\partial }{\partial T}\left(T\log Z\right)$$

La acción de Einstein-Hilbert contiene el escalar de Ricci, es decir,

$$I_{EH}=\int_M \mathrm{d}^d x \, \sqrt{-g} \, R$$

Por lo tanto, técnicamente, la entropía depende de la curvatura. Además, incluso para soluciones no triviales, tales como la métrica de Schwarzschild, puede haber casos cuando se $R=0$. Sin embargo, recordemos que para definir completamente un riguroso principio de la acción, debe ser complementado por un límite de plazo,

$$I_{GH} = \int_{\partial M} \mathrm{d}^{d-1}x \, \sqrt{-h} \, K$$

donde $K$ es la curvatura extrínseca, y $h_{ab}$ la inducida por la métrica, en el límite $\partial M$.

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Ejemplo De Cálculo (Solución De Schwarzschild)

Después de una Mecha de rotación, teniendo en cuenta $\tau$ es periódica con período de $\beta$, la métrica es dada por,

$$\mathrm{d}s^2 = \left( 1- \frac{2GM}{r}\right)\mathrm{d}\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r} \right)^{-1}\mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm{d}\phi^2$$

Si elegimos una adecuada hacia el interior apuntando normal,

$$n^{a} = - \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\delta^a_r$$

la curvatura extrínseca está dado por $\nabla_{a} n^a$, es decir, la divergencia de la normal. Pasos intermedios requieren la introducción de un programa radial de corte $R$, y la resta de los límites del término de espacio plano con el mismo límite. Finalmente, uno se encuentra, $$I_{GH} = \frac{\beta M}{2G} = \frac{A}{4G}$$

donde $A$ es el área del agujero negro. La entropía obtenida a través del formalismo está de acuerdo con el Bekenstein-Hawking entropía. (De hecho, el término fue en parte debido a Hawking.)

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Ver http://perimeterscholars.org/448.html; clase 10 proporciona el cálculo para el agujero negro de Schwarzschild, y de las anteriores conferencias discutir las matemáticas requeridas de sub-colectores.

Answer 2

Algunas observaciones :

Si consideramos que un agujero negro de Schwarzschild, una medida local de la curvatura es la raíz cuadrada de la Kretschmann escalares $K = R_{abcd}R^{abcd}$. Si usted considera que la inversa de la curvatura, se tiene :

$K(r)^{-\frac{1}{2}} \sim \dfrac{r^3}{GM} \tag{1}$

En el otro modo, el total de la entropía del agujero negro es :

$S \sim GM^2 \tag{2}$

[EDITAR]

Usted puede, por supuesto, pensar acerca de la $K^{-\frac{1}{2}}$, como la entropía densidad de volumen, pero es falso, primero debemos saber lo que tenemos que hacer algunos integral de una cierta cantidad en el agujero negro horizonte, que es una superficie, pero no en un volumen, segundo de la dimensionalidad de $K^{-\frac{1}{2}}$ no es correcto, es $[K^{-\frac{1}{2}}] = M^{-2}$ ( e $[S] = M^0) $, mientras que debería ser $M^2$.

Por otra parte, el espacio plano no "maximizar" la entropía. Si uno imaginar que algunos región vacía de espacio, que es sin ningún tipo de información, no habrá entropía. Si empezamos a llenar esta región del espacio con la energía y el impulso, no será de la información y la entropía (visto como "uniforme" de la información). El máximo de entropía surge cuando la energía es tan importante en el soporte elegido región del espacio que tiene un agujero negro.

Answer 3

Si la curvatura/planitud de espacio es una medida de la gravedad, entonces esta llanura sin duda puede ser considerado una forma de indicar la entropía. Esto es así por una razón muy sencilla; y usted no necesita ir al extremo, y considerar los agujeros negros y la temperatura en las proximidades de ver esto.

Aviso de una cosa - la gravedad y la entropía son simplemente dos fenómenos opuestos (fuerzas). La entropía es lo que hace que las partículas se mueven lejos el uno del otro. Si no restringidas por los límites, la entropía cambio, naturalmente, de baja a alta hará que las partículas de seguir difundiendo más y más (pierde energía y la velocidad al mismo tiempo, pero esto aquí no es tan importante) darles más libertad. Por otro lado, la gravedad hace que las partículas estén juntos, para concentrarse. De nuevo, si no restringido, la gravedad hace que las partículas siguen llegando más cerca unos de otros, se restringe la libertad de las partículas.

Por lo tanto, el plano en el espacio (menor densidad), mayor es la libertad de partículas (alta entropía). Obviamente, las partículas más hay, más se va a restringir el uno del otro, de la libertad, como el aumento del número de partículas no sólo los bloques de movimiento, sino que también aumenta la gravedad que ejercen unos sobre otros. Aún así, dados dos áreas de espacio - otras cosas en igualdad de condiciones - sin duda se puede decir que el de mayor gravedad (que se puede medir por la planitud si quieres) producirá menor entropía.

EDIT: me doy cuenta de que tal respuesta puede parecer demasiado simple al considerar tales nobles y misteriosas entidades como los agujeros negros, pero ... bueno ...