¿Bajo qué circunstancias se hace una teoría de la infinita sumas muestran que $1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 + \dots$ no tiene un valor?

Question

Estoy leyendo el excelente libro Cómo No Ser Mal por Jordania Ellenberg.

Él señala que el argumento por Guido Grandi a partir de 1703 que:

(1) Vamos a $T = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$

(2) $-T = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots$

(3) por Lo tanto, $-T = T - 1$ $T = \frac{1}{2}$

Ellenberg escribe:

Moderno los matemáticos dicen que si queremos asignar a la de la serie de Grandi un valor, debería ser $\frac{1}{2}$, ya que, como resulta que, todo interesantes teorías de infinitas sumas cualquiera de darle un valor de $\frac{1}{2}$ o disminución, como la teoría de Cauchy, para darle un valor a todos.

¿Cómo es que uno nunca establecer que todos los "interesantes" las teorías del infinito sumas darle un valor de $\frac{1}{2}$ o negarse a darle un valor a todos?

Answer 1

El autor parece ser el uso de la palabra "interesante" aquí en el sentido de que tiene las siguientes propiedades (donde todas las sumas que se ejecuta $n=1$ $\infty$- yo uso el desnudo suma enfatizar que estamos pensando simplemente como algo de la función de tomar secuencias de números):

• Si $s'_n$ $s_n$ $0$ anexa al inicio, a continuación,$\sum s_n = \sum s'_n$.

• $\sum a_n+b_n = \sum a_n + \sum b_n$ cuando el último existen.

• Si $s_n$ es cero para todos los $n>N$$\sum s_n = s_1+s_2+\ldots + s_N$.

También podemos fortalecer el último axioma decir que si $\sum_{n=1}^{\infty} s_n$ existe en el sentido ordinario, a continuación, $\sum s_n$ está de acuerdo con ella.

El punto es que los tres axiomas son suficientes para demostrar que la suma de $s_n=(-1)^{n+1}$ $\frac{1}2$ si es que existe. También son muy naturales axiomas a adoptar para alinear con nuestra intuición de una suma. Así, la palabra "interesante" aquí, en realidad, significa "actúa como una suma" a la exclusión de cualquiera de las operaciones de $\sum$ que hacer algo extraño bajo circunstancias ordinarias.