¿Por qué $a_n = (1+\frac{2}{n})^{n}$ convergen a $e^2$?

Question

Determinar si $a_n = (1+\frac{2}{n})^{n}$ converge o diverge. Si converge, encontrar el límite.

Así que traté de decir que $a_n = (1+\frac{2}{n})^{n} \Rightarrow \ln(a_n) = n\ln(1+\frac{2}{n})$. Por desgracia, yo no sé lo que el siguiente paso es ya que creo que el $n \rightarrow \infty$ $n \rightarrow \infty$ y que $\ln(1+\frac{2}{n}) \rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$, pero de alguna manera la solución es $e^{2}$... Por favor alguien puede ayudar me relleno en los pasos entre? Gracias!

Answer 1

Si usted ya sabe que $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}(1+x)^{\frac{1}{x}}= e$ y $a_n\to a$ implica $a_n^2\to a^2$, entonces:

$$\lim_n \left( 1+\frac{2}{n}\right)^n =\lim_n \left[ \left( 1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} \right]^2=\left[\lim_n \left( 1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{n}{2}} \right]^2 =e^2 \; .$$

Obviamente, también se puede escribir:

$$\lim_n \left( 1+\frac{2}{n}\right)^n = \lim_n \left( 1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^n =\lim_n \left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}} \right]^2=\left[\lim_n \left( 1+\frac{1}{\frac{n}{2}}\right)^{\frac{n}{2}} \right]^2\; ,$$

y utilice el límite de $\displaystyle \lim_{y\to +\infty} (1+\tfrac{1}{y})^y =e$.

Answer 2

Sabemos que la derivada de $\log x$$\frac{1}{x}$, por lo que aplicar el primer principio de la diferenciación a $\log x$: $$ \begin{align} \lim_{h\to0}\frac{\log(x+h)-\log(x)}{h}&=\frac{1}{x}\\ \lim_{h\to0}\log\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}&=\frac{1}{x} \end{align}$$ Ahora reemplace$\frac{1}{h}$$n$: $$\lim_{n\to\infty}\log\left(1+\frac{1}{nx}\right)^n=\frac{1}{x}$$ Ahora reemplace$\frac{1}{x}$$2$: $$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\log\left(1+\frac{2}{n}\right)^n&=2\\ \lim_{n\to\infty}e^{\log\left(1+\frac{2}{n}\right)^n}&=e^2\\ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n}\right)^n&=e^2 \end{align}$$

Answer 3

Tienes razón en que $\ln (1+ \frac{2}{n}) \to 0$. Sin embargo, se aproxima a cero sólo como $1/n$. Por lo tanto, $n \ln(1+ \frac{2}{n}) = 2 + O(1/n)$ (con Taylor) y obtener $$ a_n \to e^2.$$