Deje $L$ ser una proyección ortogonal, $L(\mathbb R^n)$ rango $1$. Mostrar existe un vector unitario $v$ tal que $L$ está definido por la matriz $v v^T$.

Question

Introducción:

Un operador lineal $L: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ se llama una proyección de si $L^2 = L$. Una proyección de $L$ es una proyección ortogonal si $\ker L$ es ortogonal a $L(\mathbb R^n)$.

He demostrado que la única invertible proyección es el mapa de identidad $I_{\mathbb R^n}$ mediante el uso de la función de composición en la identidad de $L^2(v) = L$.

Pregunta:

Ahora supongamos que $L$ es una proyección ortogonal cuya imagen $L(\mathbb R^n)$ rango $1$. Mostrar existe un vector unitario $v$ tal que $L$ está definido por la matriz $v v^T$.

Lo que he intentado:

Desde $L(\mathbb R^n)$ rango $1$ existe un vector unitario $v \in L(\mathbb R^n)$ tal que $Span(v) = L(\mathbb R^n)$.

Deje $u\in L(\mathbb R^n)$ tal que $L(u) = v$. Pero $L(L(u)) = L(v) = v$ por la propiedad de $L$, lo $v$ se asigna a sí mismo.

Puedo escribir todos los vectores $t = P_{Span(v)}(t) + r$ de forma única como suma directa, donde $P_{Span(v)}(t)$ se encuentra en $Span(v)$ (proyección ortogonal) y $r$ se encuentra en el complemento ortogonal de a $Span(v)$. Pero, a continuación,$L(t) = L(P_{Span(v)}(t)) + L(r) = L(cv)+L(r) = cv + L(r)$. Si yo pudiera mostrarle $L(r) = 0$, entonces estoy hecho, ya que el $L$ es entonces la proyección ortogonal de a $Span(v)$, pero no he sido capaz de hacer esto ?

Answer 1

Desde $L$ es una proyección ortogonal, existe una matriz ortogonal $P$, de modo que \begin{equation}P^TLP=\begin{bmatrix}1&\bf{0}\\\bf{0}&\bf{0}\end{bmatrix}.\end{equation}(en Negrita los ceros indican cero vector/matriz). Así que desde $L$ es de rango 1 y una proyección ortogonal es ortogonalmente similar a una matriz con un 1 en la entrada $(1,1)$ y ceros en otros lugares.

Así que ahora vamos a $v_1 =\begin{bmatrix}1 \\ \bf{0}\end{bmatrix}$ y deje $v=Pv_1$.

Answer 2

Usted tiene la suma directa de $\mathbb R^n = kern(L) \oplus image(L)$. Entonces $$ t = Lt + (t-Lt) $$ y $L(t-Lt) = Lt - L^2t=0$. Por lo tanto, el resto de los $r$$kern L$.