La construcción de la $[a,b]$veces producto Cartesiano sobre el espacio de todas las funciones con valores de

Question

Actualmente estoy leyendo "el Análisis Aplicado", que se pueden encontrar aquí,

y en la página 85 no entiendo el ejemplo 4.16. Allí se dice:

Supongamos que $X$ es el espacio de todas las funciones con valores en el intervalo de $[a,b]$. Podemos identificar una función $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ con un punto de $\prod_{x\in [a,b]} f(x)$$\mathbb{R}^{[a,b]}$, lo $X = \mathbb{R}^{[a,b]}$ $[a,b]$veces producto Cartesiano de a $\mathbb{R}$.

En esta construcción la expresión $\prod_{x\in [a,b]} f(x)$ casi siempre deberá rendir $\infty$ debido a que es un producto a través de una multitud innumerable y por lo que esta identificación no es uno-a-uno, o no lo leí $\prod_{x\in [a,b]} f(x)$ mal?

Answer 1

Estás leyendo $\prod_{x\in[a,b]}f(x)$ incorrectamente. (Esto es perfectamente comprensible, ya que la notación es muy baja.) Esto no significa que un producto de los números reales $f(x)$$x\in[a,b]$.

Deje $I$ ser un conjunto de índices, y para cada una de las $i\in I$ deje $Y_i$ ser un conjunto. Entonces $$X=\prod_{i\in I}Y_i\;,$$ the Cartesian product of the sets $Y_i$, is defined to be the set of all functions $$x:I\to\bigcup_{i\in I}Y_i$$ such that $x(i)\en Y_i$ for each $i\I$. Each of these functions is a single point of the product set $X$. I generally write $x=\langle x(i):i\in I\rangle$ para describir un punto.

En su establecimiento $I=[a,b]$, e $Y_i=\Bbb R$ por cada $i\in[a,b]$. Por lo tanto, en este caso $x=\langle x(i):i\in I\rangle\in X$ es en realidad una función de$I=[a,b]$$\Bbb R$, ya que cada uno de los conjuntos de $Y_i$ es sólo $\Bbb R$. Cambio mi $x$ $f$y sustituir el índice específico establecido para $I$, y tiene un punto de $f=\langle f(x):x\in[a,b]\rangle\in X$. El autor de un libro que tiene mal deliberadamente elegido para escribir esto como si se tratara de un producto de números, lo cual es ridículo, pero su $\prod_{x\in[a,b]}f(x)$ debe ser entendido exactamente como mi $f=\langle f(x):x\in[a,b]\rangle$.

Él podría haber sido un poco menos malo escribiendo $\prod_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$, un producto Cartesiano de singleton establece; que, al menos, no podría interpretarse como un producto de números, pero también no sea un punto en $X$: más bien, sería un singleton subconjunto de $X$, un conjunto con un solo punto en ella.

Answer 2

¿Cómo se lee $A^2$? Es todas las funciones de $\{0,1\}$ a $A$, pero este es también el conjunto de pares ordenados, o $2$-tuplas.

Podemos pensar en el par ordenado $\langle a,b\rangle$ como la función de $f(0)=a, f(1)=b$.

Del mismo modo podemos considerar otros conjuntos, conjuntos mayores, y generalizar esta: $\mathbb R^{[a,b]}$ es el conjunto de todas las funciones cuyo dominio es $[a,b]$ y codominio $\mathbb R$. ¿Cómo podemos identificar una función de $f$? Se identifican con la secuencia, o $[a,b]$-tupla en un abuso extremo de la lengua, $\langle f(x)\mid x\in[a,b]\rangle$.

El producto no es un producto de los números, sino más bien un producto de conjuntos, en nuestro caso un producto de embarazos únicos. Tenga en cuenta que podemos escribir $f=\prod\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$. El problema comienza cuando abusando de la notación y la identificación de un punto con su singleton, a continuación, $\prod\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}$ se convierte en $\prod\limits_{x\in[a,b]}f(x)$, lo que puede parecer como un producto de números en lugar de producto de conjuntos.

Answer 3

Como ya hay respuestas abordar el problema de la notación, sólo añadiré algunos ejemplos y la intuición.

Considere una función de $f : \{1,2,3,\ldots,n\} \to \mathbb{R}$. Sin embargo, hay un bijection entre un conjunto de tales funciones y de las $\mathbb{R}^n$. Tomar una $n$-dimensiones del vector de $v \in \mathbb{R}^n$ tal que $v = \langle v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n \rangle$$v_k = f(k)$, y se podía ver que $\Phi(f) = v$ podría ser un ejemplo. Por supuesto, si usted tiene un punto en $u \in \mathbb{R}^n$, entonces usted podría fácilmente reconstruir la función: $g(k) = u_k$. El hecho de que el espacio de las funciones se denota como $\mathbb{R}^{\{1,2,\ldots,n\}}$ no es una coincidencia.

En este ejemplo se puede generalizar, por ejemplo,$f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$. Cada función es un punto en el espacio de secuencias infinitas de números reales, por ejemplo, $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ donde $a_n = f(n)$. Por otro lado, el espacio de dicha secuencia puede ser pensado como un infinito producto Cartesiano de a $\mathbb{R}$, y de hecho lo es somtimes denota como $\mathbb{R}^\infty$.

Podemos ir con este incluso más allá y más allá, por ejemplo, $g : [a,b] \to \mathbb{R}$ es un punto en el espacio $\mathbb{R}^{[a,b]}$ que puede ser entendido como un infinito producto Cartesiano, pero con incontable número de coordenadas que va a más.

Por favor, tenga en cuenta, que con lo anterior en mente, los importes (es decir,$\sum_{k=1}^n \cdot$) y de la serie (es decir,$\sum_{k=1}^\infty \cdot$) no son otra cosa que las integrales (es decir,$\int_{\Omega}\cdot$) sobre espacios discretos. Esta es también una de las razones por las que la gente tiende a pensar que las integrales como generalizada sumas.

Espero que esta ayuda ;-)