Los poliedros o análogos tridimensionales de los polígonos fueron estudiados por Euler, quien observó que si se deja $f$ para ser el número de caras de un poliedro, $n$ para ser el número de ángulos sólidos y $e$ para ser el número de uniones donde dos caras se juntan una al lado de la otra $n-e+f=2$ .
Más tarde se vio que un grave defecto de esta definición (y de la prueba aportada por Euler) es que no está nada claro qué es un poliedro en primer lugar. Por ejemplo, si consideramos un cubo anidado dentro de otro cubo como un poliedro, entonces $n-e+f=4$ un ejemplo contrario al resultado de Euler.
¿Cuál será la definición moderna de ese poliedro que cumpla con el resultado de Euler?
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¿Preguntas específicamente para qué clase de "objetos" bidimensionales la característica de Euler es 2? (y supongo que cuál capta el "espíritu" de la definición original de Euler). Si es así, supongo que un buen candidato sería un complejo CW regular bidimensional homeomorfo a una 2-esfera, y donde $n$ , $e$ et $f$ son, respectivamente, el $0$ th, $1$ st y $2$ y los números de Betti, respectivamente.
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En realidad supongo que querrás $n$ , $e$ et $f$ para ser el rango de los grupos de cadenas celulares correspondientes, en lugar de los números de Betti, ya que estos corresponden a contar celdas en las dimensiones respectivas.
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@DanRust Estoy pidiendo una definición apropiada de sólido tridimensional que satisfaga $n-e+f=2$ y ese sólido no debería chocar con nuestra intuición de un poliedro. Preferiblemente una respuesta que contenga detalles que expliquen los términos no elementales utilizados en la definición.
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La cuestión se discute ampliamente en el libro de Imre Lakatos, Pruebas y refutaciones. La respuesta a tu pregunta será más larga que rápida, pero es una lectura estupenda.
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McMullen y Schulte también discuten esto un poco, creo, en su libro Politopos regulares abstractos . La idea es que es mucho más fácil describir posets que "se comportan como" las redes de caras de los poliedros ordinarios, que decidir cómo se pueden axiomatizar todos los poliedros no convencionales. No te dará una respuesta, pero se deriva de una investigación relacionada.
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Ver Característica de Euler .