El grupo $E(\mathbb{F}_p)$ tiene exactamente $p+1$ elementos

Question

Deje $E/\mathbb{F}_p$ la curva elíptica $y^2=x^3+Ax$.

Suponemos que a $p \geq 7$$p \equiv 3 \pmod {4}$.

Quiero mostrar que el grupo $E(\mathbb{F}_p)$ tiene exactamente $p+1$ elementos.

Me preguntaba si se podría utilizar la clasificación del grupo.. ¿tienes una idea?

EDITAR:

Existen las siguientes posibilidades:

Si el punto de $(x,y)$$E(\mathbb{F}_p)$, entonces el punto de $(x,-y)$$E(\mathbb{F}_p)$.

Si el punto de $(-x,y)$$E(\mathbb{F}_p)$, entonces el punto de $(-x,-y)$$E(\mathbb{F}_p)$.

$y^2=f(x)$

$f(x)=x^3+Ax \Rightarrow f(-x)=-f(x)$

Deje $(x, y)$ ser un punto en $E(\mathbb{F}_p)$. A continuación, $f(x)$ es un cuadrado. Si $(-x, y)$ también sería un punto en $E(\mathbb{F}_p)$, $f(-x)$ también sería un cuadrado, y, a continuación, $-f(x)$ sería un cuadrado, por lo $-1$ sería un cuadrado. Que no puede ser cierto, ya que la $p \equiv 3 \pmod 4$. Es esto correcto?

Pero yo todavía no entiendo cómo podemos contar con las soluciones. Podría usted explicar esto a mí?

Answer 1

Para $x=0$ encontramos el punto de $(0,0)$.

Si $x \neq 0$,$f(x) = x^3+Ax = -( (-x)^3 + A(-x) ) = -f(-x)$. Si $f(x)=0$ encontramos los dos puntos de $(x,0)$$(-x,0)$. Si $f(x) \neq 0$ entonces $f(x)$ o $-f(x)$ es un cuadrado en $\mathbb{F}_p$ (utilizando el hecho de que $p \equiv 3 \mod 4$) por lo tanto nos encontramos con dos puntos $(x,y)$, $(x,-y)$ o dos puntos $(-x,y)$, $(-x,-y)$. En todos los casos, vemos que hay dos puntos de $(a,b)$ en la curva de con $a = \pm x$.

En total, esto nos da la $1 + \frac{p-1}{2} \cdot 2 = p$ puntos de la curva, que junto con el punto en el infinito da $\#E(\mathbb{F}_p) = p+1$.

Answer 2

Tratando de aclarar el paso que parece ser preocupante la OP.

Nos partición de los elementos $x\in\Bbb{F}_p$ en tres subconjuntos $S_1,S_2$$S_3$:

• Subconjunto $S_1$ se compone de los elementos $x\in\Bbb{F}_p$ tal que $x^3+Ax=0$. Usted debe notar que si $x\in S_1$, $y=0$ es la única solución de $y^2=x^3+Ax$. Por lo tanto para cada una de las $x\in S_1$ hay un único punto de $(x,0)$ sobre la curva.
• Subconjunto $S_2$ se compone de los elementos $x\in\Bbb{F}_p$ tal que $x^3+Ax$ es un no-cero de la plaza en el campo de $\Bbb{F}_p$. Si $x\in S_2$, e $y^2=x^3+Ax$$y\neq0$, e $(-y)^2=x^3+Ax$ es también una solución. Y la única solución. Por lo tanto para cada una de las $x\in S_2$ hay dos puntos, $(x,y)$ $(x,-y)$ sobre la curva.
• Subconjunto $S_3$ se compone de los elementos $x\in\Bbb{F}_p$ tal que $x^3+Ax$ no es un cuadrado en el campo de $\Bbb{F}_p$. Así que si $x\in S_3$, entonces no hay soluciones $y$ a de la ecuación de $y^2=x^3+Ax$.

Si denotamos por a $|S_1|$ (resp. $|S_2|, |S_3|$) el número de elementos en cada uno de los tres conjuntos, a continuación, el número de pares de $(x,y)\in\Bbb{F}_p^2$ tal que $y^2=x^3+Ax$ es $$ N=|S_1|+2\cdot |S_2|+0\cdot |S_3|. $$ La observación clave es que si $x^3+Ax$ es un no-cero de la plaza, a continuación, $(-x)^3+A(-x)=-(x^3+Ax)$ no es una plaza, de lo contrario su relación $=-1$ también sería una plaza que no es el caso. Por lo tanto, si $x\in S_2$, $-x\in S_3$ y viceversa, si $x\in S_3$,$-x\in S_2$. Esto significa que $|S_2|=|S_3|$. Por lo tanto $2\cdot|S_2|=|S_2|+|S_3|$, por lo que $$ N=|S_1|+|S_2|+|S_3|=|\Bbb{F}_p|=p. $$ Teniendo en cuenta el punto en el infinito, vemos que hay $p+1$ puntos en total en su curva elíptica.