Se tiran dos dados a la vez, para muchos el tiempo hasta que a o B gana. Una se gana si se obtienen dos consecutivos 7s y B gana si queremos obtener un 6 en cualquier momento. ¿cuál es la probabilidad de ganar el juego??
Respuestas
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Deje $p$ la probabilidad de que $A$ gana. Deje $h$ la probabilidad de que $A$ gana dado que ni $A$ ni $B$ aún no ha ganado, y un $7$ sólo ha sido lanzado, por lo que el $A$ es "caliente".
Se rompe el cálculo de los casos, dependiendo de lo que sucede en el primer lanzamiento. Hay dos maneras en que $A$ (en última instancia) de ganar. (I) el primer lanzamiento es un $7$ (probabilidad de $1/6$), lo $A$ caliente, en cuyo caso la probabilidad de ganar es $h$, o (ii) el primer lanzamiento es algo distinto de la $7$ o $6$ (probabilidad de $25/36)$), caso en el cual para todos los efectos prácticos, el juego comienza de nuevo. En ese caso, la probabilidad de $A$ gana finalmente es $p$. De este modo, obtener la ecuación $$p=\frac{1}{6}h +\frac{25}{36}p.\tag{$1$}$$
Si $A$ es caliente, a continuación, $A$ gana si (i) el siguiente tiro es $7$, o (ii) el siguiente tiro es algo distinto de una $6$ o $7$, pero $A$, al final, gana. En el caso (ii), la probabilidad de un triunfo final para$A$$p$. Así $$h=\frac{1}{6}+\frac{25}{36}p.\tag{$2$}$$
Tenemos dos ecuaciones lineales en dos incógnitas, y no es difícil de resolver para $p$. De $(1)$ obtenemos $11p/6$. Sustituyendo en la $(2)$, nos encontramos con que $p=6/41$.
Tas
Puntos
11
Deje $p_A$ $p_B$ las probabilidades de ganar para$A$$B$, e $p_6$ $p_7$ las probabilidades a rodar 6 y 7.
Ahora, con respecto a las diferentes posibilidades para el primer rollo (y si uno empieza con 7, el segundo rollo), podemos encontrar:
$$p_A=p_6 \cdot 0 + p_7 (p_6 \cdot 0 +p_7+(1-p_6-p_7)p_A) + (1-p_6-p_7)p_A.$$
Esta es una ecuación lineal para $p_A$.
Tenemos $p_6=\frac5{36}$, $p_7=\frac{6}{36}$, y por lo tanto:
$$p_A=\frac{p_7^2}{p_7p_6+p_7^2+p_6} =\frac{6}{41}.$$
