La geometría del problema en triángulos

Question

$ABC$ es un triángulo y $DAE$ es una línea recta paralela a la $BC$ tal que $\overline{DA} = \overline{AE}$. Si $CD$ cumple con $AB$$X$, e $BE$ cumple con $AC$$Y$, demuestran que, a $XY$ es paralelo a $BC$.

Yo estaba tratando de utilizar la intersección teorema básico o el teorema de proporcionalidad, pero no puedo ver cómo usar el hecho de que $\overline{DA}=\overline{AE}$? Alguna buena sugerencia sería suficiente.

Answer 1

Desde $DE$ es paralelo a $CB$ se consigue la semejanza entre los triángulos $\Delta DAX\sim \Delta BCX$$\Delta AEY \sim \Delta CBY$.

Desde entonces los triángulos son semejantes, tenemos un factor de multiplicación. Esto implica que $$\frac{AC}{AY}=1+\frac{CY}{AY}=1+\frac{CB}{AE}=1+\frac{CB}{AD}=1+\frac{BX}{AX}=\frac{AB}{AX}$$ Esto, junto con la $\angle CAB=\angle YAX$ implica que el $\Delta AYX$ es similar a $\Delta ACB$ y se traducirá en el hecho de que $YX$ es paralelo a $CB$