Estoy confundido por la prueba de que $\epsilon$-$\delta$ la continuidad es equivalente al libre juego de la continuidad. Uno puede demostrar que una función es $\epsilon$-$\delta$-continua si y sólo si la preimagen de cualquier conjunto abierto es abierto. Sin embargo, no es cierto que la imagen de cualquier conjunto abierto es abierto. Mi pregunta es, ¿cuál es la diferencia entre la imagen y preimagen? La dualidad de la imagen y preimagen me sugiere que una prueba de que funciona para uno de ellos debe trabajar para el otro, pero claramente este no es el caso. ¿Por qué no?
Respuestas
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Andrew Salmon
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Cualquier conjetura "simetría" entre preimagen de imagen y no porque las funciones no son necesariamente de uno a uno. Observe que en el caso de $f(x) = x^2$, la imagen de $(-1,1)$$[0,1)$, que no está abierto. La razón de esta falla es porque el mapa no tiene inversa. Si consideramos la gráfica a través de la línea de $y=x$, nos encontramos con algo que no es una función (no es un único valor). La preimagen de $(-1,1)$ bajo esta relación es$[0,1)$, pero el resultado no es una función continua, porque no es una función.
jooi
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Usted puede incluso tener un continuo bijection que no mapa abierto a los conjuntos de bloques abiertos. Considere la función $$ f: [0,1) \cup [2,3] \[0,2], \; f(x) = \begin{cases}x , & x \in [0,1) \\ x-1, & x \in [2,3] \end{casos}. $$
Esta es una continua bijection. El conjunto $[2,3]$ está abierto en $[0,1) \cup [2,3]$. Pero la imagen de $[2,3]$ $[1,2]$ que no está abierto en $[0,2]$.
Lo que sucede con esta función es que el dominio no está conectado, pero el rango es. Así la función de "colas" de las dos partes del dominio junto continuamente. Esto significa que la función inversa tiene que destrozar estas piezas, por lo que no es continuo.
