Para cualquier número de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$$n>0$, establecer que $F_n\equiv5\,\text{or}\,8\pmod9$

Question

Para cualquier número de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$$n>0$, establecer que $F_n\equiv5\,\text{or}\,8\pmod9$ $n$ es par o impar.

Ya que para cualquier $n\ge3$,$2^{2^n}\equiv2^{2^{n-2}}\pmod9$, si $n=2k+3$ entonces $$2^{2^n}=2^{2^{2k+3}}\equiv2^{2^{2k+1}}=(2^{2^{2k}})^2\pmod9?$$ si $n=2k+4$ entonces $$2^{2^n}=2^{2^{2k+4}}\equiv2^{2^{2k+2}}=(2^{2^{2k}})^4\pmod9?$$ pero no sé cómo continuar?

Answer 1

La prueba es por inducción sobre $n$. Tenemos $F_1\equiv 5\pmod{9}$.

Tenga en cuenta que $F_{n+1}-1=(F_n-1)^2$. Esto es debido a que $2^{2^{n+1}}=(2^{2^n})^2$. Reescribir como $$F_{n+1}=(F_n-1)^2+1.$$ Ahora vamos a hacer la inducción de paso.

Si $F_k\equiv 5\pmod{9}$,$(F_k-1)^2\equiv 16\equiv 7\pmod{9}$, y por lo tanto $F_{k+1}\equiv 8\pmod{9}$.

Del mismo modo, si $F_k\equiv 8\pmod{9}$,$(F_k-1)^2\equiv 4\pmod{5}$, y por lo tanto $F_{k+1}\equiv 5\pmod{9}$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $2^6 \equiv 1 \pmod 9$.

También se $2^n \equiv 2,4 \pmod 6$ dependiendo de la paridad de $n$. Si $n$ es impar, a continuación,$2^n \equiv 2 \pmod 6$, de lo contrario $2^n \equiv 4 \pmod 6$. Esto significa que $2^n = 6k + 2$ o $2^n = 6k + 4$. Ahora acaba de sustituir y el uso de la primera conclusión.

Answer 3

Como ord$_92=6,$

$$\displaystyle2^{2^n}\equiv2^{2^n\pmod{\phi(9)}}\pmod 9$$

Ahora, $\displaystyle2^1\equiv2,2^2\equiv4,2^3\equiv2\pmod6$

Así, por $n(>0)$ impar, $\displaystyle2^n\equiv2\pmod6\implies2^{2^n}\equiv2^2\pmod9$

Así, por $n(>0)$ a, $\displaystyle2^n\equiv4\pmod6\implies2^{2^n}\equiv2^4\pmod9\equiv7$