Espacio de estado con el modelo de regresión de efectos

Question

Estoy tratando de mostrar el siguiente (ejercicio 3.11.4 de Durbin y Koopman (2012)):

Mostrar que el espacio de estado del modelo definido por $$ y_t=X_t\beta+Z_t\alpha_t+\epsilon_t\\ \alpha_{t+1}=W_t\beta+T_t\alpha_t+R_t\eta_t$$ también puede ser expresado como $$ y_t=X_t^*\beta+Z_t\alpha_t^*+\epsilon_t\\ \alpha_{t+1}^*=T_t\alpha_t^*+R_t\eta_t$$ para $X_t$ $W_t$ son fijos matrices y todos tienen las dimensiones adecuadas.

He estado probando varias cosas, pero ninguna parece fructífero. A mí me parece como si las dimensiones de $\alpha$ $\alpha^*$ son el mismo, de lo contrario hubiera sido sencillo por el solo aumento del estado de vectores. Pero no veo cómo hacerlo tal y como era en este caso. Las sugerencias son muy bienvenidas!

Answer 1

La forma en que esta se realiza, es en primer lugar, establecer la relación entre el $\alpha_{t}$ $\alpha_{t}^{\ast}$ y continuar desde allí. Tomamos el estado inicial ecuaciones anteriores y tomar

$$\alpha_{t}^{\ast} = \mathsf{T}_{t}^{-1}\mathsf{W}_{t}\beta + \alpha_{t},$$

vemos que podemos escribir

$$\alpha_{t + 1}^{\ast} = \mathsf{T}_{t}\alpha_{t}^{\ast} + \mathsf{R}_{t}\eta_{t}.$$

Eso es un hecho. Ahora, para la primera de las ecuaciones anteriores podemos tomar

$$\mathsf{X}_{t}^{\ast} = \mathsf{X}_{t} - \mathsf{Z}_{t}\mathsf{T}_{t}^{-1}\mathsf{W}_{t},$$

y podemos escribir

$$y_{t} = \mathsf{X}_{t}^{\ast}\beta + \mathsf{Z}_{t}\alpha_{t}^{\ast} + \epsilon_{t}.$$

Usted puede convencerse sustituyendo las expresiones para $\alpha_{t}^{\ast}$ $\mathsf{X}_{t}^{\ast}$ de devolución en las ecuaciones y usted verá que usted obtenga el inicial más queridos.

Espero que esto ayude.