Qué $\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{{p_n}^{g_n}}$ convergen?

Question

Deje $p_n$ $n^\text{th}$ el primer y el $g_n$ $n^\text{th}$ primer gap ($p_{n+1} - p_n$). El cálculo de la serie a a $n = 10^6$ parece que

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{{p_n}^{g_n}} < 1$$

Podría ser esto cierto, y es allí una manera de demostrarlo?

(Esta es una pregunta de seguimiento a esto, aunque tal vez más difícil de roer.)

Answer 1

Tenga en cuenta que$g_n\ge 2$, excepto en el principio. También, por Rosser del Teorema tenemos $p_n\gt n\log n$. A continuación, el resultado de la siguiente manera por Comparación con la serie convergente $\sum_2^\infty \frac{1}{n\log^2 n}$. (Se necesita mucho menos de Rosser del Teorema, el Teorema de los números Primos es suficiente).

Answer 2

Tenemos $g_n\geq 2$$\frac{1}{p_n^{g_n}} \leq \frac{1}{p_n^2}$. Además contamos $p_n> n\log n$ $n\geq 1$ por el teorema de los números primos (o Rosser del teorema de ser precice). Esto implica que

$$S \leq \sum_{n=1}^{k}\frac{n}{p_n^{g_n}} + \sum_{n=k}^\infty\frac{1}{n(\log n)^2} \leq \sum_{n=1}^{k}\frac{n}{p_n^{g_n}} + \frac{1}{\log(k)}$$

desde $ \sum_{n=k}^\infty\frac{1}{n(\log n)^2} \leq \int_k^\infty \frac{dx}{x\log^2(x)} = \frac{1}{\log(k)}$. El cómputo de la primera suma anterior numéricamente tenemos

$$S \leq 1.355$$

para $k=10$. Para empujar el límite por debajo de $1$ parece requerir unas estimaciones más precisas.

Answer 3

Por el teorema de Chebyshev (la versión débil de la PNT) se deduce que $p_n \geq C n \log n$ para algunas constantes $C$ cerca de $1$, para cualquier $n$ lo suficientemente grande. Desde $g_n\geq 2$ cualquier $n\geq 2$ y el de la serie $$\sum_{n\geq 2}\frac{1}{n\log^2(n)}$$ es convergente por Cauchy de la prueba de condensación, la serie es convergente.

Es el valor exacto de la serie original realmente relevante para algún propósito?