La de arriba es una derivación de la velocidad de la onda de la ecuación en mi libro de texto de física. Sin embargo, he leído en internet que esta ecuación sólo es cierto para las ondas con pequeñas amplitudes. No veo donde esta suposición se hace en la derivación, así que ¿por qué es la ecuación sólo es cierto para pequeñas amplitudes?
La explicación no es muy completa. Como usted bien nota, estás tomando un límite, por lo que la suposición de $\sin\theta \to\theta$ $\delta z\to0$ se convierte en exacta. Así Eq 16-23 contiene ninguna aproximación.
La suposición de creeps en sutilmente cuando uno asume que la fuerza calculada en la ecuación 16-23 está en ángulo recto a la $z$ eje. Es decir, que $\mathrm{d}y/\mathrm{d} z$ es pequeña, de modo que la normal a la tangente a la curva se mantiene aproximadamente vertical en el diagrama. La mejor manera de entender todo esto es el trabajo más exacta de la ecuación, entonces la componente vertical de la fuerza de la restauración de la pequeña longitud de $\mathrm{d}\,s$ de la cuerda es
$$T\,\partial\theta \,\cos\theta = \mathrm{d}s\, T\,\frac{\partial\theta}{\partial s}\,\cos\theta = \mathrm{d}s\, T\,\frac{\partial^2y}{\partial z^2}\,\frac{1}{\left(1+\left(\frac{\partial y}{\partial z}\right)^2\right)^2}$$
(recordando que $\frac{\partial\theta}{\partial s}$ es la curvatura de la cadena y, a continuación, utilizando la fórmula para la curvatura) y, a CONTINUACIÓN, usted aproximado que $\frac{\partial y}{\partial z}\ll 1$ o, equivalentemente, que el $\mathrm{d}z = \mathrm{d}s$. La amplitud pequeña aproximación es entonces indirectos: estamos asumiendo directamente los pequeños gradientes, lo que implica, y están implícitas en las pequeñas amplitudes, dado que sabemos que la longitud de onda es limitado.
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