Funciones en el espacio hiperbólico y modular curvas

Question

La descomposición de la $L^{2}\left(S^{2}\right)$ bajo $SO\left(3,\mathbb{R}\right)$ es bien conocido.

Centramos ahora en el plano hiperbólico $H$ presenta como el cociente $SL\left(2,\mathbb{R}\right)/SO\left(2,\mathbb{R}\right)$. No es compacto, por lo tanto, mi entendimiento es que el infinito-dimensional representaciones de $SL\left(2,\mathbb{R}\right)$ aparecerá en la descomposición de la $L^{2}\left(H\right)$.

(a) hay una expresión algebraica parte del espectro y tiene una descripción similar a la de $L^{2}\left(S^{2}\right)$?

(b) ¿Cómo clasificar la $SL\left(2,\mathbb{R}\right)$ representaciones y lo que es todo el espectro?

(c) Considerar la posibilidad de $X_{0}\left(1\right):=SL\left(2,\mathbb{Z}\right)\setminus H$. ¿Cómo se $L^{2}\left(X_{0}\left(1\right)\right)$ descomponer?

(d) La misma para $X_{0}\left(N\right):=\Gamma_{0}\left(N\right)/H$. ¿Cómo se $L^{2}\left(X_{0}\left(N\right)\right)$ descomponer?

Answer 1

a) Weyl del unitario truco implica que no hay trivial irreductible finito dimensionales unitario de representaciones de $SL\left(2,\mathbb{R}\right)$. Esto es básicamente lo contrario de $SO\left(3\right)$.

b) la Wikipedia tiene una clasificación de todos los unitaria de las irreps. Un irreductible representación como un espacio de funciones en H puede ser visto como una enorme partícula estado en relativista QM en $R^{\left(1,2\right)}$.

c) creo que puedes hacer real la analítica de Eisenstein de la serie y discreto de la serie. Eisenstein series forman un espectro continuo, bien diferenciado de la serie dan las formas modulares. Usted puede encontrar más en Gelbart del libro "Automorphic formas de adele grupos"

d) la Misma cosa, excepto la de Eisenstein serie implican una suma de más de un rango menor de cosets de la traducción, y las formas modulares son invariantes bajo un grupo más pequeño. Me dicen que el Maass formas y holomorphic formas de congruencia de los grupos que he mencionado sólo dan una contables de la colección de representaciones unitaria, mientras que el director de la serie tiene un parámetro continuo.

Answer 2

De DH de la respuesta no es del todo correcto: El complementario de la serie no "aparecen en" $L^{2}\left(H\right)$, es decir, que no aparecen en el apoyo de un Plancherel medida.

Answer 3

El infinito-dimensional unitario de representaciones de $SL_{2}\left(\mathbb{R}\right)$ que aparece en la derecha-regular la representación en $L^{2}\left(H\right)$ son precisamente unitario de representaciones de $SL_{2}\left(\mathbb{R}\right)$ poseen un $SO_{2}\left(\mathbb{R}\right)$-vector fijo. Estos son parametrizadas por $\mathbb{R}\cup\left[0,1\right]$ donde $\mathbb{R}$ parametrizes unitaria principal de la serie de representaciones y $\left[0,1\right]$ parametrizes la "complementariedad de la serie" las representaciones. Esto está implícito en Knapp capítulo en el Corvallis volumen; véase también Iwaniec el libro sobre la teoría espectral de automorphic formas para un tratamiento clásico de este caso.

De todos modos, el punto de esto es que el $L^{2}\left(H\right)$ tiene un "direct integral" descomposición en representaciones irreducibles, por lo que el analogía en esta situación no es $L^{2}\left(S^{2}\right)$ sino $L^{2}\left(\mathbb{R}\right)$. Por el contrario, la cofinite cocientes $X_{0}\left(N\right)$ tiene un "mixto" descomposición espectral, que es $L^{2}\left(X_{0}\left(N\right)\right)$ rompe en un continuo de parte (Eisenstein serie, parametrizadas por $\mathbb{R}$) y un discreto parte, el llamado cúspide de las formas. Esta teoría es debido a Selberg y no significa de ninguna manera directa. De nuevo, ver Iwaniec del libro para un buen tratamiento clásico.