Una línea en una prueba respecto a la enésima potencia residuos

Question

Agradecería ayuda para la comprensión de esta línea resaltada en una prueba en Irlanda & Rosen (p. 45). No sé mucho de teoría de grupos, aunque sé que el residuo de clases $\pmod m$ formar un grupo multiplicativo, cuyo fin es $\phi(m)$.

La proposición 4.2.1: Si $m\in \mathbb{Z}^{+}$ $(a,m)=1$ $a$ $n$th poder de residuos iff $a^{\phi(m)/d} \equiv 1\pmod m$ donde $d= (n,\phi(m))$:

En la prueba que dice: Si $g$ es una raíz primitiva $\pmod m$ $a=g^b$ $x=g^y$ $x^n\equiv a\pmod m$ es equivalente a $g^{ny} \equiv g^b\pmod m$ (tan lejos y tan bien) que es equivalente a:

Si $g^{ny}\equiv g^b \pmod m$ $ny\equiv b\pmod {\phi(m)}$

Gracias

EDITAR Debido a mi descuido, dejé una parte crucial de la declaración de la Proposición. Debería ser "si $m$ posee raíces primitivas, etc" salí de mi error anterior, tal y como está, ya que resultó en la reveladora respuesta de @Daniel Fischer a continuación.

Answer 1

Como está escrito, la condición es correcta sólo cuando existe una raíz primitiva módulo $m$, es decir, cuando el grupo de unidades de $\mathbb{Z}/(m)$ es cíclico. En ese caso, la línea resaltada tiene porque tenemos $g^{ny} \equiv g^b \pmod{m} \iff g^{ny-b} \equiv 1 \pmod{m}$, e $g^k \equiv 1 \pmod{m}$ si y sólo si $k$ es un múltiplo de la orden de $g$. Por definición, una raíz primitiva módulo $m$ orden $\phi(m)$, lo $g^k \equiv 1 \pmod{m} \iff \phi(m) \mid k$, e $\phi(m) \mid k$ es la definición de $k \equiv 0 \pmod{\phi(m)}$. Así

\begin{align} g^{ny} \equiv g^b \pmod{m} &\iff g^{ny-b} \equiv 1 \pmod{m}\\ &\iff ny -b \equiv 0 \pmod{\phi(m)}\\ &\iff ny \equiv b \pmod{\phi(m)}. \end{align}

Como un ejemplo de que la condición como por escrito no se cumple para todos los $m$, tome $m = 15$$n = 4$. A continuación,$\phi(m) = 8$, e $d = (n,\phi(m)) = 4$, por lo que la condición es $a^{8/4} = a^2 \equiv 1 \pmod{15}$, pero esta congruencia es satisfecho por $1,4,11,14 \pmod{15}$, mientras que $b^4 \equiv 1 \pmod{15}$ todos los $b$ coprime a $15$, por lo que la única biquadratic de residuos modulo $15$$1$.

Para general $m$, se debe reemplazar de Euler totient función de $\phi$ con el Carmichael función de $\lambda$. Para $a$ coprime a $m$, y $n \in \mathbb{N}\setminus \{0\}$, $a$ es una $n^{\text{th}}$-potencia de residuos si y sólo si $a^{\lambda(m)/d} \equiv 1 \pmod{m}$ donde $d = \gcd(n,\lambda(m))$. La prueba es similar a la prueba cuando el grupo de unidades de $\mathbb{Z}/(m)$ es cíclica, es decir, uno escribe el grupo de la unidad como un producto cíclico de los grupos y argumenta en cada factor en el camino.