¿Cómo resolver $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$?

Question

¿Puedes ayudarme, por favor, con esta suma?

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$

No tengo ni idea de cómo resolverlo. El resultado es $\frac{1}{2}$.

Gracias

Answer 1

Pista: $$\frac1{(2k-1)(2k+1)}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)$$

Answer 2

Entonces, para la suma parcial n-ésima tenemos:
$s_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac12 \sum_{k=1}^{n} \left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right) = \frac12 \cdot ( 1 - \frac{1}{2n+1})$
Resolviendo el límite:
$ \lim_{n \to \infty } s_n = \lim_{n \to \infty } ( \frac12 \cdot ( 1 - \frac{1}{2n+1}) ) = \frac12 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

Gracias por la pista :)

Answer 3

Pista
Expande el numerador de la siguiente manera $$1 = \frac12(2k+1 - (2k - 1))$$ Y utiliza series telescópicas.