La variación Total de (débilmente) funciones diferenciables

Question

el total de la variación de una función $u\in L^1(\Omega)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, puede ser definida como

$$\sup \{ \int_\Omega u \; \mathrm{div} g \; dx:\; g \en C_c^1(\Omega\mathbb{R}^n), \; \lvert g(x) \rvert \leq 1,\; x \in \Omega \}$$

para (débilmente) funciones diferenciables $u$, este supremum es igual al $L^1$ norma de la (débil) gradiente $\int_\Omega \lvert \nabla u \rvert\; dx$. sin embargo, me parece que no puede encontrar el riguroso argumento para demostrar esto. alguien me puede ayudar?

Answer 1

Deje $\epsilon > 0$. Pick $f$$C^\infty(\Omega) \cap BV(\Omega)$$\|u-f\|_{L^1(\Omega)} < \epsilon$$\Big|\int_\Omega |Du|- \int_\Omega |Df|\Big| < \epsilon$. Por integración por partes,

$$\begin{aligned} \int_\Omega |Df|&= \sup\{ \int_\Omega f\text{ div}g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n)|g| \leq 1\}\\ &=\sup\{ \int_\Omega -\nabla f \cdot g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n),\ |g| \leq 1\}\\ &=\sup\{ \int_\Omega \nabla f \cdot g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n)\, |g| \leq 1\} = \|\nabla f\|_{L^1({\Omega})}\\ \end{aligned}$$ % que puede ser confirmado por dejar a $g$ cerca de $\frac{1}{\lvert \nabla f \rvert} \nabla f$. Ahora vamos a $\epsilon \to 0$

Answer 2

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ser un conjunto abierto, $u\in W^{1,1}(\Omega)$, $\nabla u$ su débil gradiente y $\int_\Omega |Du|$ de la variación total, como se define arriba. Queremos mostrar que $$\int_\Omega |Du| = \int_\Omega |\nabla u|\;dx.$$

"$\leq$" sostiene claramente, ya que

$$\int_\Omega u \; \text{div}g \; dx = - \int_\Omega \nabla u \cdot g \; dx \leq \int_\Omega |\nabla u|\; dx$$

debido a $|g|\leq 1$. Queda por demostrar que se logra la igualdad o, equivalentemente, que "$\geq$" tiene. Esto puede hacerse mediante la construcción de una secuencia adecuada de las funciones de $(g_\epsilon)$ $C_c^1$ que, en cierto sentido, se aproxima a $\frac{\nabla u}{|\nabla u|}$. Entonces, dado que nos encontramos con una secuencia que hace el truco, nos llevaría a cabo, debido a que el siguiente argumento.

$$\begin{align} \int_\Omega |Du| &= \sup { \int_\Omega \nabla u \cdot g \; dx: g \in C_c^1(\Omega, \mathbb{R}^n), \; |g| \leq 1 } \newline &\geq \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_\Omega \nabla u \cdot g_\epsilon \; dx \newline &=\int_\Omega|\nabla u|\;dx \end{align}$$

Por lo tanto, el punto crucial es encontrar ese $g_\epsilon$'s. Vamos $$\tilde{g}:= \begin{cases} \frac{\nabla u}{|\nabla u|}, & \text{if } \nabla u \neq 0 \newline 0, & \text{otherwise}\end{casos}$$ y deje $\tilde{g}_{\epsilon_1}$ ser esta función multiplicada por la función característica del conjunto $\Omega_{\epsilon_1} \cap B_{\epsilon^{-1}_1}$ donde $\Omega_{\epsilon_1} = \{x\in\Omega: \text{dist}(x,\partial\Omega) \geq \epsilon_1\}$ $B_{\epsilon^{-1}_1}$ es la bola cerrada centrada en el origen con radio de $\frac{1}{\epsilon_1}$. Para todos los positivos $\epsilon_1$, $\tilde{g}_{\epsilon_1}$ es una forma compacta compatible campo vectorial satisfacer $|\tilde{g}_{\epsilon_1}| \leq 1$$\tilde{g}_{\epsilon_1}\overset{\epsilon_1\rightarrow 0}{\rightarrow}\tilde{g}$. Por convolución con una adecuada mollifier $\eta_{\epsilon_2}$ (ver, por ejemplo, Giusti 1984, pp 10-11) la resultante de las funciones de $g_\epsilon := \eta_{\epsilon_2} \ast \tilde{g}_{\epsilon_1}$, $\epsilon := (\epsilon_1, \epsilon_2)$, son de forma compacta compatible, suave y $g_\epsilon \overset{\epsilon_2\rightarrow 0}{\rightarrow}\tilde{g}_{\epsilon_1}$$L_1$. Esta secuencia de funciones (creo) cumple con la por encima de la igualdad, que debe concluir la prueba.

Es este el camino correcto? Tengo que destacar que no estoy muy seguro acerca de la doble límite, y puede ser que necesite alguna entrada para que sea totalmente riguroso. Alguna idea?

Answer 3

La prueba parece que es probablemente la correcta, pero no hay ninguna necesidad de un 2 $\epsilon$'s. Se demostró $\int_\Omega |Du| \leq \int_\Omega |\nabla u|\,dx$. Para probar la dirección opuesta, vamos a $\epsilon > 0$. Deje $f_\epsilon \in C^\infty(\Omega) \cap W^{1,1}(\Omega)$ con $\|u - f_\epsilon\|_{W^{1,1}} < \epsilon$ (esto es necesario porque más adelante nos quieres $f_\epsilon$$C^1$). Para $t > 0$ definir $S_t = \{x \in \Omega \mid d(x,\partial\Omega) > t \text{ and }|\nabla u(x)| > t\}$. Definir $$g_\epsilon(x) = \begin{cases} \frac{\nabla f_\epsilon(x)}{|\nabla f_\epsilon(x)|}, &\text{%#%#%}\newline 0, &\text{%#%#%} \end{casos}$$ con $x \in S_{2\epsilon}$ liso y $x \in \Omega \setminus S_\epsilon$ todos los $g_\epsilon$. Entonces por el teorema de convergencia dominada, $$\begin{aligned} \int_\Omega |Df_\epsilon| = &\sup\{\int_\Omega f_\epsilon \text{ div}g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n), |g| \leq 1\}\\ \end{aligned}$$ $|g_\epsilon(x)| \leq 1$$

$x \in \Omega$$

$$= \sup\{\int_\Omega -\nabla f_\epsilon \cdot g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n), |g| \leq 1\}$$ $$= \sup\{\int_\Omega \nabla f_\epsilon \cdot g \mid g\in C_0^1(\Omega, \mathbb{R}^n), |g| \leq 1\}$$

Así $$\int_\Omega|Du| =\lim_{\epsilon\to 0} \int_\Omega |Df_\epsilon| \geq \lim_{\epsilon \to 0} \int_\Omega |\nabla f_{\epsilon}|\,dx = \int_\Omega |\nabla u|\,dx.$$