Autovalores de bloque de la matriz de orden $m+1$

Question

Cómo encontrar los autovalores de la matriz?

$\begin{bmatrix} mkI-A & -A & -A & \cdots & -A\\ -A & kI-A & O & \cdots & O\\ -A & O & kI-A & \cdots & O\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -A & O & O & \cdots & kI-A\\ \end{bmatrix}_{m+1}$

Donde, $A$ es cualquier matriz cuadrada de orden $n$,

$O$ es la matriz cero de orden $n$

$I$ es la matriz identidad de orden $n$,

$k \in \mathbb{N}$

Así como un autovalor de arriba de la matriz es cero.

Creo que si somos capaces de convertir por encima de la matriz en términos de Kronecker o producto de Kronecker suma de dos matrices, a continuación, podemos encontrar los autovalores de arriba de la matriz mediante la toma de multiplicación o adición de dos matrices, respectivamente.

La otra manera es posible que si se puede convertir por encima de la matriz en el bloque diagonal de la matriz, a continuación, podemos encontrar los autovalores fácilmente.

Answer 1

En primer lugar, para resumir este problema, vamos a reemplazar diagonal factor de matrices como:

$$ \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda-mk & 1 \\ \lambda-k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I \\ A \end{bmatrix} $$

donde $\lambda$ es autovalor. Por lo tanto, podemos suponer que el siguiente determinante:

$$ \begin{aligned} \det \begin{bmatrix} X & A & A & \cdots & A & A \\ A & Y & O & \cdots & O & O\\ A & O & Y & \cdots & O & O \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ A & O & O & \cdots & Y & O \\ A & O & O & \cdots & O & Y \end{bmatrix} \end{aligned} $$

Cálculo del determinante tiene una importante propiedad de que cada una de las filas se pueden agregar o reducción de otra fila. Así, la fila superior puede ser restado de la fila inferior para extraer la diagonal, el factor de $\det(Y)$. A continuación, el bloque de la matriz se hace más pequeño de $(m+1)n$ plaza de a $mn$ plaza:

$$ \begin{aligned} \det \begin{bmatrix} X-AY^{-1}A & A & A & \cdots & A & O \\ A & Y & O & \cdots & O & O\\ A & O & Y & \cdots & O & O \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ A & O & O & \cdots & Y & O \\ A & O & O & \cdots & O & Y \end{bmatrix} =& \det \begin{bmatrix} X-AY^{-1}A & A & A & \cdots & A \\ A & Y & O & \cdots & O \\ A & O & Y & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A & O & O & \cdots & Y \end{bmatrix} \det(Y) \end{aligned} $$

Del mismo modo, repetimos esta operación hasta que el bloque de la matriz se convierte en $n$ órdenes de la matriz. Finalmente, el siguiente determinante se obtiene:

$$ \det(Y)^m\det(X-mayo^{-1}) $$

Ahora, se intenta factorizar el segundo determinante $\det(X-mAY^{-1}A)$ el uso de esta consideración. A continuación, todo el resultado se muestra a continuación:

$$ \det(\lambda I-(kI+A))^{m-1} \det\biggl(\lambda I-\cfrac{B+\sqrt{C}}{2}\biggr) \det\biggl(\lambda I-\cfrac{B-\sqrt{C}}{2}\biggr) $$

donde:

$$ \begin{cases} B=-2A+k(m+1)I \\ \\ C=4mA^2-5k(m+1)A+k^2(1+m)^3I \end{casos} $$

En conclusión, esta $n(m+1)$ matriz cuadrada tiene $3n$ tipos de valores propios. Sin embargo, $C=O$ caso es $2n$ tipos excepcionalmente debido a los múltiples solución.