$x^3+y^4=7$ no tiene soluciones entero

Question

Estoy tratando de demostrar que $x^3+y^4=7$ no tiene ningún entero soluciones, pero no tengo idea de cómo empezar, por favor ayuda. He tratado de considerar mod 7 para restringir el número de posibles $x^3$ porque $x^3 \equiv -1,0,1 \pmod{7}$, pero no está funcionando.

Answer 1

Considere la ecuación modulo $13$. A continuación,$x^3$$0,1,5,8,12$$y^4$$0,1,3,9$. Ninguno de estos se añaden a $7$ modulo $13$.

Elegí $13$ porque $3|\phi(13)$$4|\phi(13)$, así que podría conseguir restricciones tanto $x^3$$y^4$.

Answer 2

universalset la respuesta es correcta, en estos problemas de una heurística útil es encontrar un número que produce residuos, de forma que ambos lados no puede ser igual. Aquí está un breve programa en Python para encontrar números de teléfono para este problema.

for m in range(2,100): #We hope to find such number less than 100
    a= set([x**3%m for x in range(0,1000)]) #Hoping remainders will cycle somewhere less that 1000 
    b= set([y**4%m for y in range(0,1000)]) #Hoping remainders will cycle somewhere less that 1000 

    flag = 0;
    for x in a:
        if (7%m+x%m)%m in b:
            flag=1;
            break;

    if flag==0:
        print (m,a,b)