Obligando A Bijectivity

Question

Estoy trabajando fuera de la Nakahara de texto en la física matemática, y me presentan con un mapa de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $ f:x \mapsto \sin(x) $, y dijo que no es ni inyectiva ni surjective, y a restringir el dominio y el rango para hacer la asignación de bijective. Redfining el mapa en términos más generales:

$$ X,Y \subseteq \mathbb{R} \,\, | \,\, f: X \rightarrow Y $$

Yo primero trató de investigar cómo esta asignación no puede ser inyectiva. Saber la definición de inyectividad, de inmediato ver que existe más de una posible valor inverso para cada valor del rango. En otras palabras, no se puede trazar una línea de constante $y$ en la gráfica de esta función y la huelga de la función de más de una hora, y de hecho infinidad de veces como $x$ es permitido correr hasta el infinito. Esto me lleva a creer que necesito para poner una restricción que implican la periodicidad de las $\sin(x)$ sobre el dominio seguro.

En segundo lugar, he comprobado cómo la asignación no se surjective. Sé que el dominio va desde el infinito negativo hasta el infinito, mientras que el rango va desde $-1$$1$. Surjectivity requiere que para cada $ y \in Y $, existe al menos un $ x \in X$ tal que $ f(x) = y$. Si $ Y$ es toda la recta real y el rango de $f$$[-1,1]$, ninguna de las $y$ fuera de ese intervalo no tiene un inverso de la imagen, lo que contradice surjectivity.(?)

Para lograr la inyectividad, he considerado que el hecho de que $sin(x)$ es periódica, con un primer máximo en $\frac{\pi}{2}$. Inmediatamente después de eso, comenzamos a ver repetido $y$ valores para diferentes $x$ valores. También me di cuenta de que podemos extender este hacia el negativo $x$ a el mismo valor. Para surjectivity, y por lo tanto bijectivity, he notado que necesitamos a cada valor en el dominio y el rango para ser utilizados en la asignación. De forma explícita que tiene el rango requerido.

Mediante el citado razonamiento, llego a la conclusión de que la asignación de las restricciones debe tener este aspecto: $$ X = [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \,\, , \,\, Y = [-1,1]$$ $$ f: X \rightarrow Y \,\, | \,\, f: x \mapsto \sin(x) $$

Es todo lo que la justificación proporcionada anteriormente suficiente para hacer este mapa bijective?

Answer 1

Sí, usted ha proporcionado tanto a la correcta justificación y casi (ver mi último párrafo) siempre válida restricciones para hacer la función bijective. Vale la pena señalar que estas restricciones no son únicos, por ejemplo, en su lugar, podríamos tomar $x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$ para la inyectividad.

Con respecto a esto, usted puede encontrar este ser de su interés.

Me gustaría hacer un punto con respecto a su notación - $X$ es el dominio, por lo que la intención es seleccionar de forma explícita. En su respuesta, debe ser $X = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, en lugar de $X \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, de lo contrario lo que estamos diciendo es que todo el dominio $X$ es un único elemento de $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Y lo mismo para su $Y$.

Answer 2

Sí, tu razonamiento es correcto, aunque la respuesta no es la única posible.

La definición de la función como $$(0,\tfrac\pi 2] \to (0,1]$$ or $$(\tfrac\pi 2,\pi] \to [0,1)$$ or even $$\{0\} \to \{0\}$$ satisface los requisitos.