¿Es toda variedad compleja afín/proyectiva isomorfa/biracional a una definida por un ideal $I\subset \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ ?

Question

Hace tiempo que le doy vueltas a esta cuestión, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo:

¿Es toda variedad compleja afín/proyectiva isomorfa/biracional a una definida por un ideal $I\subset \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ ?

Así que estoy interesado en todo $4$ combinaciones de afín/proyectiva e isomórfica/biracional. Así que para asegurar que la pregunta es clara: dado un ideal $J\subset \mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]$ ¿existe un ideal $I\subset \mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]$ (no requerimos $n=m$ ) tal que $Z(J)\cong Z(I)$ como variedades?

Mi única idea aquí era que si esto es cierto, entonces sólo hay un número contable de clases de isomorfismo de variedades. No estoy seguro de que esto pueda llevar a una contradicción, ya que, por ejemplo, la característica de Euler sólo es capaz de distinguir un número contable de ellas, y no conozco ningún invariante que pueda hacerlo mejor (eso no quiere decir que no haya ninguno, sólo que no sé mucho).

edit: la misma pregunta pero con $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_m]$ sustituido por $\mathbb{Z}[i][x_1,\dots,x_m]$ también sería interesante.

Answer 1

La respuesta es, al menos, un no parcial. Consideremos las curvas elípticas complejas: no hay dos curvas elípticas complejas que sean isomorfas sin tener el mismo $j$ -invariante, que es un número complejo y puede tomar incontables valores. Por lo tanto, hay al menos incontables clases de isomorfismo de variedades proyectivas complejas. Creo que podría haber una manera fácil de extender esto o algo parecido a las cuestiones afines o biracionales que preguntas, pero no lo sé.

Tengo curiosidad por su pregunta una vez que se elimina la posibilidad de tal truco de cardinalidad - tal vez hay algo que decir para las variedades definidas sobre $\overline{\mathbb{Q}}$ . Entonces la distinción contable/no contable no aparece.