El examen de la convergencia de $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2+x}\text{ d}x$

Question

Me gustaría tener mi solución verificado por este. Me gustaría mostrar que $$\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+x}\text{ d}x$$ es convergente. Aviso, por parciales de la fracción de descomposición, que $$\dfrac{1}{x^2+x} = \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\text{.}$$ Una antiderivada de $\dfrac{1}{x^2+x}$ puede ser visto fácilmente a ser $\ln|x|-\ln|x+1| = \ln\left(\left|\dfrac{x}{x+1}\right|\right)$.

Como $x \to \infty$, $\ln\left(\left|\dfrac{x}{x+1}\right|\right) \to \ln(1) = 0$ por la continuidad de $\ln$.

Así $$\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+x}\text{ d}x = 0 - \ln\left(\dfrac{1}{2}\right) = \ln\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}\right] = \ln(2)\text{.}$$

Answer 1

La solución es ACEPTAR. Observar que $$ 0<\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2+x}\text{ d}x<\int\limits_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x^2}\text{ d}x=\left[ -\frac{1}{x}\right]_1^\infty=1. $$