La convergencia de $\sum_{n\geq 0}\frac{(n!)^d}{(d\cdot n)!}$

Question

En un examen que me han pedido para discutir la convergencia de una serie con respecto a un parámetro de $d$. Aquí es la siguiente : $\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^d}{(d\cdot n)!}$

La respuesta es que esta serie converge para $d \geq 2$. Estoy totalmente de entender que si $d \leq 1$, la serie no converge, pero estoy bloqueado al intentar usar la de d'Alembert o de Cauchy reglas.

Puede alguien darme un consejo ?

Answer 1

Deje $f(n)$ ser el término general de la serie. Entonces, tenemos:

$$\frac{f(n+1)}{f(n)} = \frac{(n+1)^d}{(dn+d)(\cdots)(dn +1)}\le \left( \frac{n+1}{dn + 1}\right)^d \to \frac1{d^d}$$

Por lo tanto:

$$\limsup \frac{f(n+1)}{f(n)} \le \frac1{d^d} < 1 \text{ for $d\ge 2$}$$

Así que la serie converge (a través de la relación de la prueba).

Answer 2

Stirling aproximación de los rendimientos de $\displaystyle \frac{(n!)^d}{(d\cdot n)!}\sim K\frac{n^{\frac{d-1}2}}{(d^d)^n}$ donde $K=\frac{(\sqrt{2\pi})^{d-1}}{\sqrt d}$

Cuando $d>1$, $d^d>1$ y $\displaystyle \frac{n^{\frac{d-1}2}}{(d^d)^n} = O\left( \frac{1}{(d^d)^{n/2}}\right)$ y la serie converge.

Cuando $d=1$, $\displaystyle \frac{n^{\frac{d-1}2}}{(d^d)^n} = 1$ y la serie diverge.

Cuando $d<1$, $\displaystyle \frac{n^{\frac{d-1}2}}{(d^d)^n}\to \infty$ y la serie diverge trivialmente.