Pegando una cinta de Moebius en una esfera.

Question

Si tomamos un cuadrado y de identificar a los lados opuestos, obtenemos un toro. Si queremos cambiar la dirección de un par de lados obtenemos la botella de Klein. Si queremos cambiar la dirección de ambos lados, obtenemos primero una cinta de Moebius, luego cuando intenté pegar los lados opuestos tengo una esfera con una singularidad (es decir, la banda se convierte en un punto), este proceso está permitido, es decir, se trata de una esfera topológica, es posible pegar esto juntos sin una singularidad si tuviera un poco de extra dimensiones espaciales?

Y dado un $2n$-gon de los lados $a_1$$a_{2n}$, que las identificaciones de los lados (de a pares y con $4$ direcciones posibles), resultado en un suave compacto colector, ¿hay alguna regla para determinar que el colector, y son todas las identificaciones permitido? Cuántos diemsnions son necesarios para un buen proceso de encolado?

Answer 1

Todos gluings resultado en una superficie compacta. Es obvio que cada punto en el interior del polígono es localmente homeomórficos a $\mathbb{R}^2$, y no es tan difícil ver que esto también es cierto en el interior de los bordes, así que sólo queda para inspeccionar los vértices, y esto no es tan malo: por "después de la pegando" las agujas del reloj o en sentido contrario a la larga producen un ciclo que se cierra un vecindario de cada vértice. Esto es más fácil para mí ver geométricamente de explicar con rigor.

Yo sé de dos sencillos algoritmos para determinar la homeomorphism tipo de superficie correspondiente. Los primeros usos de Mayer-Vietoris para el cálculo de la primera homología $H_1(M, \mathbb{Z})$, lo que se conoce determina completamente la superficie. La segunda es la combinatoria y toma algunos diagramas para explicar correctamente, pero es totalmente primaria; debe ser explicado en cualquier lugar de la clasificación de (compact) de las superficies se ha comprobado en la forma habitual.

Answer 2

Si usted pegamento ambos pares de lados de un cuadrado después de cambiar la orientación de un lado, en cada par, para que el pegado de instrucciones

vemos que, de hecho, ha comenzado con una $2$-disco y se identificaron cada par de antipodal puntos en la frontera. Esa es una de las construcciones de la proyectiva panel.

Answer 3

Vamos a trabajar por cortar y pegar. Supongamos que el cuadrado es $[0,1]\times[0,1]$ con los bordes horizontales de la etiqueta $a$ y los bordes verticales de la etiqueta $b$. Orientar a los bordes de la palabra $baba$ recorre en sentido antihorario desde el origen. Cortar el cuadrado a lo largo de $c$, la línea de $x=y$, orientada por una flecha que apunta desde el origen. Ahora tenemos dos triángulos con aristas marcadas por las palabras $c^{-1}ba$$bac$. El pegamento de la $a$'s juntos. (Usted tiene que reflexionar un triángulo.) Tenemos un 4-gon con las etiquetas de $bb^{-1}cc$. Ahora la cola de las $b$'s juntos para obtener un 2-gon con las etiquetas de $cc$. Eso es $\mathbb{R}P^2$.