Olimpiada matemática Tesoros Problema 1.92 cómo se relaciona esto con progresión geométrica

Question

Se supone que para demostrar que si

$a,b,c$ son números reales distintos de cero

y

$(ab+bc+ca)^3 =abc(a+b+c)^3$

$a, b, c$ son términos de una progresión geométrica.

Una solución dada es que:

$(ab+bc+ca)^3 −abc(a+b+c)^3 = (a^2 −bc) (b^2 −ac) (c^2 −ab)$

¿Cómo funciona la nueva factorización implica que $a,b,c$ son parte de la progresión geométrica?

Answer 1

Obtuvo $(ab+bc+ca)^3 −abc(a+b+c)^3 = (a^2 −bc) (b^2 −ac) (c^2 −ab)$. Ahora desde $(ab+bc+ca)^3 =abc(a+b+c)^3$, lo que implica $(ab+bc+ca)^3 −abc(a+b+c)^3=0$. Entonces;

$$(a^2 −bc) (b^2 −ac) (c^2 −ab)=0$$

Esto implica que uno de $(a^2 −bc),(b^2 −ac),(c^2 −ab)$ debe ser cero. Luego tenemos a $a^2 =bc$ o $b^2 =ac$ o $c^2 =ab$.

Si $a^2=bc$, $b,a,c$ o $c,a,b$ en G. P. Similares para otros casos.