Asumió el hecho de conjuntos de Borel

Question

Estoy trabajando en conjuntos medibles y he estado viniendo a través de este, los llamados "hechos" sobre el círculo unidad. Más precisamente, algunas de las pruebas a las que me estoy estudiando basa en la siguiente observación:

Hay un conjunto de Borel en la unidad cuadrada cuya proyección sobre la primera coordenada no es un conjunto de Borel en el intervalo de $[0,1]$.

Yo no puedo dar una prueba o una imagen visual de este conjunto. Pensé en dos dimensiones de conjuntos de Cantor es decir, $\mathcal{C}\times \mathcal{C}$. Gracias por la ayuda!

Answer 1

Usted no está solo en la búsqueda de este difíciles, como Lebesgue creyó (en 1905) había demostrado que la proyección de un conjunto de Borel en $\mathbb{R}^2$ en uno de los ejes fue un conjunto de Borel. Su error fue descubierto por Souslin que conducen (creo) para el proceso de Souslin/esquemas de jerarquía que él ha desarrollado para investigar este problema.

R. M. Dudley "Análisis Real y Probabilidad"

En mi anciano edición se tratan en el capítulo 13, a pesar de que mi edición es por Chapman y Hall, mientras que el de Amazon edición es publicada por Cambridge. No estoy seguro de que él en realidad le da una prueba de la existencia de dicho conjunto, pero es un buen lugar para empezar, y le da un montón de referencias al final de cada capítulo.

También hay otra (más) el libro de Rogers en la "Analítica de los Conjuntos", pero no tengo una copia, así que no puedo comprobarlo.

Answer 2

La proyección de un conjunto de Borel en la plaza en la $x$-eje es un llamado de la analítica set o conjunto de Souslin en la línea. Así que usted está pidiendo una analítica establecida en el intervalo que no es un conjunto de Borel. Es decir, una analítica conjunto cuyo complemento no es analítica. Cualquier texto descriptivo de la teoría de conjuntos deben tener este tipo de construcción. Por ejemplo:

Donald L. Cohn, Teoría De La Medida (Birkhäuser, 1980) Corolario 8.2.17, página 269

Hay una analítica subconjunto de $\mathcal N$ que no es un conjunto de Borel.

Aquí, $\mathcal N$ es homeomórficos a la irrationals en $(0,1)$, por ejemplo.

Como consecuencia de ello, innumerables completa de espacio métrico tiene un conjunto así.