Integrar parcial por la descomposición de la fracción

Question

$$\int\frac{5x^2+9x+16}{(x+1)(x^2+2x+5)}dx$$ He aquí lo que tengo hasta ahora... $$\frac{5x^2+9x+16}{(x+1)(x^2+2x+5)} = \frac{\mathrm A}{x+1}+\frac{\mathrm Bx+\mathrm C}{x^2+2x+5}\\$$ $$5x^2 + 9x + 16 = \mathrm A(x^2+2x+5) + (\mathrm Bx+\mathrm C)(x+1)=\\$$ $$\mathrm A(x^2+2x+5) + \mathrm B(x^2+x)+\mathrm C(x+1)=\\$$ $$(\mathrm A+\mathrm B)x^2 + (2\mathrm A + \mathrm B + \mathrm C)x + (5\mathrm A+\mathrm C)\\$$ $$\mathrm A=-3,\;\mathrm B=8,\;\mathrm C = 31$$ $$$$ $$\int\frac{5x^2+9x+16}{(x+1)(x^2+2x+5)}dx = \int\bigg(-\frac{3}{x+1}+\frac{8x+31}{x^2+2x+5}\bigg)dx\Rightarrow$$ $$\int-\frac{3}{x+1}dx +\int\frac{8}{x^2+2x+5}dx+\int\frac{31}{x^2+2x+5}dx $$

Esperemos que la tengo correcta hasta este momento (si no, alguien lo señala por favor!). Puedo hacer la primera integración moviendo el -3 y el uso de $u=x+1$ para obtener $$-3 \ln(x+1)$$ pero estoy atascado en los próximos dos.

Answer 1

PS:

Thomas Andrews dice que los valores de $A,B,C$ está en el error. No he comprobado, pero la técnica que se describe a continuación todavía funciona si es diferente de números.

final de PS

$$ \int\frac{8x+31}{x^2+2x+5}\,dx $$ Primero vamos a $w=x^2+2x+5$, de modo que $dw=(2x+2)\,dx$. Entonces tenemos $$ \int\frac{8x+31}{x^2+2x+5}\,dx = 4\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,dx+ \int\frac{23\,dx}{x^2+2x+5} $$ El uso de la sustitución de la manija de la primera integral. Entonces $$ \overbrace{\int\frac{23\,dx}{x^2+2x+5} = \int\frac{23\,dx}{(x+1)^2+2^2}}^{\texto{completar el cuadrado}} = \frac{23}2\int\frac{dx/2}{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2+1} = \frac{23}2 \int\frac{du}{u^2+1} $$ y obtener un arco tangente.

Answer 2

Debería ser $A=3,B=2,C=1$ y tienes:

$$\int \frac{3}{x+1} dx + \int \frac{2x+2}{x^2+2x+5} dx -\int \frac{1}{x^2+2x+5}dx$$

La segunda es fácil mediante el uso de $u=x^2+2x+5$, y otras ms responden han cubierto la última.

La clave es escribir $\frac{2x+1}{x^2+2x+5} = \frac{2x+2}{x^2+2x+5} - \frac{1}{x^2+2x+5}$.

Es probablemente más fácil establecer $u=x+1$ en el inicio. Entonces se obtiene:

$$\int\frac{5(u-1)^2+9(u-1)+16}{u(u^2+4)}\,du=\int\frac{5u^2-u+12}{u(u^2+4)}dx$$

A continuación, escriba a:

$$\frac{5u^2-u+12}{u(u^2+4)} = \frac{A}{u} + \frac{Bu+C}{u^2+4}$$ Dando a $$A=3,B=2,C=-1$$, y el de las integrales:

$$\int\left(\frac{3}{u} + \frac{2u}{u^2+4} - \frac{1}{u^2+4}\right)\,du$$

Answer 3

(Sólo trabajar en la última integral, pero no la comprobación de las fracciones parciales.) Completar el cuadrado:

$$\int \frac{dx}{x^2+2x+5} = \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4}$$

Ahora, suplente $x+1 = 2\tan(t)$. Por eso, $dx = 2\sec^2 t\;dt$. Por lo tanto: $$\begin{align} \int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4} &= \int\frac{2\sec^2(t)dt}{4(\tan^2t + 1)} \\ &= \frac{1}{2}\int\frac{\sec^2 t\; dt}{\sec^2t} \\ &= \frac{1}{2}\int 1\; dt\\ &= \cdots \end{align}$$