Conjuntos de secuencias límite

Question

En mi libro de teoría de la medida encontré la siguiente definición: Sea $(A_n)_{n\ge1}$ sea una secuencia de subconjuntos de algún conjunto $X$ . Definir:

$\limsup_{n\to\infty} A_n:=\bigcap_{n\ge1}\bigcup_{k\ge n}A_k$

$\liminf_{n\to\infty} A_n:=\bigcup_{n\ge1}\bigcap_{k\ge n}A_k$

Llamamos a la secuencia convergente si $\limsup_{n\to\infty} A_n=\liminf_{n\to\infty} A_n$ en cuyo caso definimos $\lim_{n\to\infty} A_n:=\limsup_{n\to\infty} A_n$

Mi pregunta es si esta noción de convergencia corresponde a algún tipo de métrica sobre el conjunto de subconjuntos de $X$ ¿o no tiene nada que ver con el concepto habitual de límite? Gracias

Answer 1

El límite real habitual puede formularse en términos de este lenguaje. Supongamos que $(a_n)$ es una secuencia real y definimos $A_n := (-\infty,a_n]$ . Entonces tenemos $$\sup \left ( {\lim \sup}_{n \to \infty} A_n \right) = {\lim \sup}_{n \to \infty} a_n$$ y de forma similar para las limas inferiores y límite. Informalmente, la convergencia habitual puede formularse en términos de convergencia de conjuntos de rayos de los números reales.

Sin embargo, la convergencia del conjunto es mucho más general y no requiere ninguna estructura adicional. Se puede formular para cualquier colección de conjuntos (no sólo de secuencias). En realidad, hay que tener en cuenta que no todas las nociones de convergencia son topologizable (y por lo tanto a fortiori no metrizable ). Así que, en general, no hay que esperar que haya una métrica en la que se produzca la convergencia.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de @Marek en que realmente no necesitamos mirarlo topológicamente en absoluto (hay una noción general de espacios de convergencia, por ejemplo). Sin embargo, hay un contexto en el que sí corresponde a una convergencia métrica: la llamada métrica de Hausdorff en el hiperespacio de un espacio métrico compacto (que es el conjunto de subconjuntos cerrados no vacíos de ese espacio, un análogo topológico de un conjunto de potencias). Según recuerdo, tu noción de convergencia y la inducida por la métrica de Hausdorff coinciden. Pero la de la teoría de conjuntos es mucho más general.

Además, creo recordar que si consideramos $\mathcal{P}(X)$ para ser topologizado como $\{0,1\}^X$ identificando un conjunto y su función característica, y utilizando la topología del producto, obtenemos también esta noción de convergencia. http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_superior_and_limit_inferior parece confirmarlo.