Deje $X_1, X_2,...,X_n \sim \textrm{Expo}(1)$ distribución $n \geq 3$. Cómo calcular $\mathrm{P}(X_1 + X_2 \leq rX_3)$?

Question

Así que vamos a $X_1, X_2,...,X_n$ donde $n \geq 3$ ser una muestra aleatoria de la Expo(1) de la distribución.

¿Cómo puedo configurar el cálculo de

$\mathrm{P}(X_1 + X_2 \leq rX_3 | \sum_{i=1}^n X_i = t)$ donde $r, t > 0$?

Edit: no sé cómo utilizar la noción de que la $X_1 + X_2$ es independiente de $\frac{X_1}{X_1 + X_2}$ a proceder con el problema.

Answer 1

Así que creo que aquí es una manera de resolver la cuestión analíticamente:

$\mathrm{P}(X_1 + X_2 \leq rX_3 | \sum_{i=1}^n X_i = t)\\ \rightarrow \mathrm{P}\left(X_1 + X_2 + X_3 \leq (1 + r)X_3 | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)\\ \rightarrow \mathrm{P}\left(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{X_3} \leq (1 + r) | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)\\ \rightarrow \mathrm{P}\left(\frac{X_3}{X_1 + X_2 + X_3} \geq \frac{1}{1 + r} | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)\\$

La suma de los exponencialmente distribuido r.v.'s sigue una distribución Gamma. Por lo tanto, tenemos que

$X_1 + X_2 \sim \textrm{Gamma}(2,1)\\ X_3 \sim \textrm{Gamma}(1,1)$

Y así,

$\mathrm{P}\left(\frac{X_3}{X_1 + X_2 + X_3} \geq \frac{1}{1 + r} | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)\\ \rightarrow \mathrm{P}\left(\frac{\textrm{Gamma}(1,1)}{\textrm{Gamma}(2,1) + \textrm{Gamma}(1,1)} \geq \frac{1}{1 + r} | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)\\ \rightarrow \mathrm{P}\left(\textrm{Beta}(1,2) \geq \frac{1}{1 + r} | \sum_{i=1}^n X_i = t\right)$

Podemos dejar el condicional señalando que

$\frac{X_3}{X_1 + X_2 + X_3} \perp \sum_{i=1}^n X_i$.

$U + V \perp \frac{U}{U+V}$ si $U$ $V$ son de Gamma distribuido, y dejamos $U = X_1 + X_2$$V = X_3$.

Para calcular

$\mathrm{P}\left(\textrm{Beta}(1,2) \geq \frac{1}{1 + r}\right)$

nos vamos a una variable aleatoria $Z \sim \textrm{Beta}(1,2)$

$\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \int_{\frac{1}{1+r}}^1 \frac{1}{\textrm{Beta}(1,2)}z^{1-1}(1-z)^{2-1}\textrm{d}z\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \int_{\frac{1}{1+r}}^1 \frac{\Gamma(3)}{\Gamma(1)\Gamma(2)}z^{1-1}(1-z)^{2-1}\textrm{d}z\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \int_{\frac{1}{1+r}}^1 \frac{2!}{0!1!}z^{1-1}(1-z)^{2-1}\textrm{d}z\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \int_{\frac{1}{1+r}}^1 2z^{0}(1-z)^{1}\textrm{d}z\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \int_{\frac{1}{1+r}}^1 2-2z\textrm{d}z\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = (2z - z^2)|_{\frac{1}{1+r}}^1\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = 2 - 1 - \frac{2}{1+r} + \frac{1}{(1+r)^2}\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \frac{-1+r}{1+r} + \frac{1}{(1+r)^2}\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \frac{r^2 - 1}{(1+r)^2} + \frac{1}{(1+r)^2}\\ \rightarrow\mathrm{P}\left(Z \geq \frac{1}{1 + r}\right) = \frac{r^2}{(1+r)^2}$