¿Cuál será la ecuación del lado $BC$ .

Question

La ecuación de dos lados iguales $AB$ y $AC$ de un triángulo isósceles $ABC$ son $x+y=5$ y $7x-y=3$ respectivamente . ¿Cuál será la ecuación del lado $BC$ si el área del triángulo $\triangle ABC$ es $5$ unidades cuadradas.

$a.)x+3y-1=0\\ b.)x-3y+1=0\\ c.)2x-y-5=0\\ \color{green}{d.)x+2y-5=0}\\$

$\quad\\~\\~\\$

Sea la pendiente de la línea requerida $m$ . He utilizado la fórmula de la pendiente entre dos líneas $\angle B=\angle C\\~\\\left|{\dfrac{(-1-m)}{(1-m)}}\right|=\left|{\dfrac{(7-m)}{(1+7m)}}\right|\\ \implies m=-3,\dfrac{1}{3}$

Pero el libro da la respuesta correcta como opción $d.)$ .

Al encontrar $m$ Sólo encontré la pendiente, no la ecuación completa.

También me gustaría saber si su es limpia sencilla manera corta , y también el uso de $Area=5$ .

He estudiado matemáticas hasta $12th$ grado.

Actualización : mediante el uso de Geogebra Encontré que $x-3y+1=0$ encaja perfectamente

Answer 1

Deja las líneas: $x+y=5$ & $7x-y=3$ representan a AC y AB. Entonces el ángulo agudo $\theta$ entre los lados iguales AB y AC viene dada por $$\tan \theta=\left|\frac{7-(-1)}{1+7(-1)}\right|=\left|\frac{8}{-6}\right|=\frac{4}{3} \implies \sin \theta=\frac{4}{5}$$ La longitud de los dos lados AB y AC del triángulo isósceles son iguales, por lo que el área del triángulo viene dada por $$\frac{1}{2}(AB)(AC)\sin\theta=5 \implies \frac{1}{2}(AB)^2\left(\frac{4}{5}\right)=5 \implies AB=\frac{5}{\sqrt{2}}$$ Las ecuaciones de las líneas que bisecan el ángulo entre los lados iguales: $x+y=5$ & $7x-y=3$ se dan como $$\frac{x+y-5}{\sqrt{1^2+1^2}}=\pm \frac{7x-y-3}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}\implies 5x+5y-25=\pm(7x-y-3)$$$$ \N - Implica que x-3y+11=0 \N - Texto \N - Cuadrado 3x+y-7=0 $$ From above, equations it's clear that $ 3x+y-7=0$ es la bisectriz de un ángulo agudo con pendiente negativa y que pasa por el vértice A. También podemos comprobarlo mediante un croquis.
Sea la ecuación de la tercera línea (desconocida), es decir, el lado BC $x-3y+c=0$ normal a la bisectriz del ángulo: $3x+y-7=0$ . Ahora, resolviendo: $x-3y+c=0$ y cualquier línea dice $7x-y=3$ obtenemos el punto de intersección $\left(\frac{c+9}{20}, \frac{7c+3}{20} \right)$ . Del mismo modo, resolviendo las dos ecuaciones de las líneas dadas, obtenemos el punto de intersección $\left(1, 4 \right)$ . Ahora, calculando la longitud $AB=\frac{5}{\sqrt{2}}$ de lados iguales de un triángulo isósceles utilizando la fórmula de distancia punto a punto como $$AB=\sqrt{\left(1-\frac{c+9}{20}\right)^2+\left(4-\frac{7c+3}{20}\right)^2}=\frac{5}{\sqrt{2}}$$$$ (c-11)^2=100 \NImplica c-11=\Nm 10 \NImplica c=21 \N-cuadro \N-texto{&} \N-cuadro c=1 $$ Thus by setting the values of $ c $, we get two equations of parallel lines representing the third unknown side BC as: $ \color{#0ae}{x-3y+1=0} $ & $ \ y la de los demás $ lying on either side of vertex A of given isosceles triangle ABC. Thus, we see that the option (b) $ \es correcta.

Según la opción (d) de su libro la cara desconocida es: $x+2y-5=0$ . Obsérvese que esta línea tiene pendiente $\frac{-1}{2}$ es decir, negativo, pero en la figura que has dibujado la pendiente del lado desconocido debe ser sólo positiva. Por lo tanto, la opción proporcionada en su libro es absolutamente incorrecta (puede ser debido a algún error de impresión).

Answer 2

Las dos líneas que bisecan el $\angle BAC$ vienen dadas por $$\frac{7x-y-3}{\sqrt{50}} = \pm\frac{x+y-5}{\sqrt2}.$$ son $$x-3y+11 = 0, \quad 3x + y - 7=0 \text{ and } A = (1, 4).$$
escogeremos un punto $$D = (1+2k, 4-6k), k \text{ to be fixed later} $$ en la bisectriz del ángulo $3x+y-7 = 0.$ la línea a través de $D$ paralela a la otra bisectriz es $$x - 3y = 1+2k -3(4-6k) = 20k-11.\tag 1$$ el punto $C$ es la intersección de $(1)$ y $$7x - y = 3 \tag 2 $$ por lo tanto $$C = (1-k, 4-7k). $$ ahora podemos calcular $$AD^2 = 4k^2 + 36k^2 = 40k^2\\ CD^2 = 9k^2 + k^2 =10k^2$$ la restricción de que el área del triángulo $ABC = 5$ se traduce en $$AD^2 \times CD^2 = 25\implies 400k^2 = 25, k = \pm \frac14 $$ la línea $BC$ son $$x-3y = -6, x-3y = -16. $$

Answer 3

Esta cuestión no es tan difícil de resolver.

(1) A = = (1, 4), que se utilizará como centro de una circunferencia.

(2) Que $\theta$ sea el ángulo entre las 2 líneas dadas. Entonces, $\theta$ o $\tan \theta$ se puede obtener mediante la "fórmula del ángulo entre 2 líneas".

(3) A partir de (2), el valor de $\sin \theta$ se encuentra.

(4) Poniendo el 5 en la fórmula del área " $Area = 0.5ab \sin C$ ", obtenemos $\frac {25}{2} = AB^2$ que se utilizará como $(radius)^2$ .

(5) Forma la ecuación del círculo $K: (x – 1)^2 + (y – 4)^2 = \frac {25}{2}$ .

(6) Las coordenadas de B y C se pueden encontrar resolviendo ( $K$ y e) y también ( $K$ y f).

(7) A partir de las coordenadas encontradas, vuelve a formar las ecuaciones para ver cuál cumple las opciones.

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Sin embargo, lamento decir que "esta pregunta está mal planteada". Vea las razones siguientes:-

1. La respuesta proporcionada era incorrecta en primer lugar.

2. Hay 4 respuestas posibles (en lugar de una), a saber, las líneas d, n, p, q en función de los puntos elegidos como B y C.

Por ejemplo, si elegimos B en la línea e: y = -x - 5 y C' como C en f: y = 7x - 3, entonces el triángulo ABC' sombreado en verde también será isósceles y su área también es de 5 unidades cuadradas (cumpliendo la descripción completamente). Lo mismo ocurre con los otros 3 triángulos. Esto es exactamente lo que has encontrado ( $m=-3,\dfrac{1}{3}$ , las pendientes de los 2 conjuntos de líneas posibles).

Piénsalo así: ¿Qué pasaría si elijo B como B y C' como C. Entonces, obtengo $p: 3x + y = 12$ . No coincide con ninguna de las opciones dadas. ¿Pero he hecho algo mal?

Answer 4

Así, la coordenada de $A(1,4)$

Podemos establecer las coordenadas de $B(a,5-a);C(b,7b-3)$

Tenemos $|AB|^2=|AC|^2\implies(a-1)^2+(a-1)^2=(b-1)^2+\{7(b-1)\}^2$

$\implies a-1=\pm(5b-5)=\pm5(b-1)$

$$\triangle ABC=\dfrac12\begin{vmatrix}1 & 4 & 1 \\ a & 5-a & 1 \\ b & 7b-3 &1\end{vmatrix}=4|(a-1)(b-1)|$$

$\implies\triangle ABC=4\cdot5|(b-1)^2|$

$\implies20(b-1)^2=5\iff b-1=\pm\dfrac12$

¿Puedes llevarlo a casa desde aquí?