$\sum\limits_{\text{prime }p} 2^{-p}$ es un número irracional

Question

Necesito ayuda para demostrar el siguiente resultado.

$\displaystyle\sum_{\text{prime }p} 2^{-p}$ es un número irracional.

Answer 1

Sugerencia: Considerar este número en base 2. Si es racional, debe tener un período. ¿Qué tipo de consecuencia que significa esto, que llevaría a una contradicción?

Answer 2

Si el $2$'s fueron reemplazados por $10$'s, el problema es claro. La expansión decimal de cualquier número racional finaliza o se repite. El número en cuestión es uno que ha $1$s a todos los primer lugares después de la coma decimal y los ceros en otros lugares. Esto no se termina o se repita, por lo que debe ser irracional.

El problema que tiene es similar, excepto consideramos que el binario de expansión. Pero exactamente el mismo argumento funciona.

Answer 3

Una manera de mostrar que la suma es irracional es bien conocido el hecho de que no son arbitrariamente largos intervalos donde no hay números primos. Si la suma era racional, eligió el intervalo más largo que el período de hola y contradicción!

En particular, $n!+k$ $k = 2$ $n$no tiene primos, puesto que cada elemento es divisible con una prima de$2$$n$.

Esto también muestra que $\sum_{\text{prime }p} m^{-p}$ es irracional para cualquier entero $m \ge 2$.