Asintótica fórmula para $\prod_{k=1}^{\infty}\zeta (2kn)$

Question

Supongamos $n\geq 1$ es un entero positivo. Podemos encontrar una fórmula asintótica para este producto a continuación.

$$\prod_{k=1}^{\infty}\zeta (2kn)=\zeta (2n)\zeta (4n)\zeta (6n) \cdots$$

He intentado utilizar la $\zeta (2n)=\dfrac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}$ pero no podía llegar a ninguna parte.

Answer 1

Vamos a examinar los más significativos en términos del producto para $n\gg 1$ : \begin{align} \tag{1}P_n&:=\prod_{k=1}^{\infty}\zeta (2kn)\\ &=\zeta (2n)\;\zeta (4n)\cdots\\ \tag{*}&=(1+2^{-2n}+3^{-2n}+4^{-2n}+o(4^{-2n}))\;(1+2^{-4n}+o(4^{-2n}))\;(1+o(4^{-2n}))\\ \tag{2}P_n&=1+2^{-2n}+3^{-2n}+2\cdot 4^{-2n}+o(4^{-2n})\\ \end{align}

(el producto de los términos restantes $\,\zeta(6n)\,\zeta(8n)\cdots$ $(*)$ se reescribe $(1+o(4^{-2n}))$ desde los más significativos plazo (con la excepción de$1$)$\;2^{-6n}+2^{-8n}+\cdots=\dfrac {4^{-2n}}{4^n-1}$)

De $(2)$ deducimos que el simple : $\boxed{\displaystyle P_n-1\sim 4^{-n}}\;$ , lo que podría obtenerse con Igor Rivin la sugerencia
(el coeficiente de $-1.390256$ en Claude aproximación es cerca de $-\log(4)$, el término constante debe desaparecer para grandes $n$...)

Relativa $P_n$ para valores pequeños de $n$ : $P_1=C_2$ fue considerado en :

• Bernd Kellner : "En asintótica constantes en relación a los productos de los números de Bernoulli y factoriales" y en bernoulli.org
  ($C_2$ está escrito como un infinito producto de Dedekind eta función de allí) ; en lo que concierne $C_1$ tenemos $\;C_1=\lim_{n\overset{>}{\to}\frac 12} (2n-1)P_n\;$ $P_n$ convertirse en infinito como $n{\to}\frac 12$)
• Steven Pinzón : "Minkowski-Siegel Masa Constantes" también puede ser de interés

Answer 2

Para un razonablemente grandes, $n$ (es decir, más grande que sobre $3$), $\zeta(n) \approx 1+ \frac{1}{2^n},$ que le dará la asymptotics se le antoja.

Answer 3

Esta no es una respuesta ya que sólo se basa en la simulación numérica.

Estar atrapado con cualquier planteamiento formal he intentado, sólo utiliza la simulación numérica y lo que he observado es que, si $$P_n=\prod_{k=1}^{\infty}\zeta (2kn)$$ then $\log(P_n-1)$ varies as a linear function of $n$. A basic linear regression $(1\leq n\leq 50)$ gave $$\log(P_n-1)=0.135417-1.390256 n$$ ambos parámetros son estadísticamente significativas.

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Inspirado por Igor Rivin y Raymond Manzoni respuestas.

La limitación de la $\zeta$ función para el primer período de $(\zeta(s)=1+\frac 1 {2^s})$, parece que, para un gran $n$, podemos aproximado $$P_n\approx 1+\frac 1 {4^n}$$ since $$\log(P_n)=\sum_{k=1}^\infty \log(\zeta(2kn))\approx\sum_{k=1}^\infty \log(1+\frac 1{2^{2kn}})\approx\sum_{k=1}^\infty \frac 1{2^{2kn}}=\frac{1}{4^n-1}$$ $$P_n\approx \exp(\frac{1}{4^n-1})\approx 1+\frac{1}{4^n}$$ $$\log(P_n-1)\approx -n \log(4)$$ ($\log(4)\aprox 1.38629$ being quite close to the $1.390256$ de la empírica de cálculo).