Probabilidad de dos variables aleatorias estándar independientes

Question

Supongamos que tenemos $X,Y$ dos variables aleatorias normales independientes. ¿Cómo podemos calcular

$P(|\min(X,Y)|<1)$ .

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Todavía estoy aprendiendo probabilidad multivariable, y también me doy cuenta de que hay un montón de buenas propiedades de dos r.vs. normales, pero no estoy seguro de cómo usarlas.

Answer 1

Para cualquier distribución continua:

$\Pr(|\min(X,Y)| \lt k) = \Pr(\min(X,Y) \gt -k) - \Pr(\min(X,Y) \ge k)$

$= \Pr(X \gt -k) \Pr(Y \gt -k) - \Pr(X \ge k) \Pr(Y \ge k)$

$ = (1- F(-k))^2- (1- F(k))^2 $ .

En el caso de una distribución simétrica respecto a $0$ esto se reduce a

$F(k)^2- (1- F(k))^2= 2F(k)-1 = F(k)-F(-k) = \Pr(|X| \le k)$ .

que es su resultado.

Answer 2

Voy a intentar responder a mi propia pregunta.

Básicamente, cuando se intenta graficar la desigualdad de $|\min(X,Y)|<1$ se obtendrá un gráfico en forma de L. Y el área de la función se puede calcular de la siguiente manera

$\begin{align} \operatorname{Area}(|\min(X,Y)|<1) &= \operatorname{Area}(-1<X<1 \text{ and } Y >-1) + \operatorname{Area}(-1<Y<1 \text { and } X>1)\\ &=\operatorname{Area}(-1<X<1 \text{ and } Y>-1) + \operatorname{Area}(-1<X<1 \text { and } Y>1)\\ &=\operatorname{Area}(-1<X<1) \end{align}$

Es como girar la pieza inferior derecha de ese gráfico en forma de L 90 grados en el sentido de las agujas del reloj.

Entonces la probabilidad de $P(|\min(X,Y)|<1)$ puede calcularse fácilmente.

$P(|\min(X,Y)|<1) = P(-1<X<1) = \Phi(1)-\Phi(-1)$