Estoy teniendo problemas con probar lo siguiente:
Deje $a > 0$ ser un número real positivo. Demostrar que la función de $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(x) := a^x$ es continua.
Soy de primer año de las matemáticas del estudiante, por lo que estoy tratando de probar esto en una manera que sea comprensible para mí, un delta epsilon prueba. Me podrían ayudar con esto?
Gracias de antemano!
He aquí una solución que consiste en registros, vas a tener que ir lejos de su camino para hacerlo de otra manera.
Tome $a>1$ WOLG--si $a<1$, esto es sólo un reflejo de una $a>1$ (usted debe ser capaz de demostrar que si $f$ es continuo, $g(x)=f(-x)$ es también continuo con bastante facilidad).
La clave es buscar un $x-x_0$ en la función de la imagen de la expresión--aquí que realiza la factorización: $a^x-a^{x_0}=a^{x_0}(a^{x-x_0}-1)$. Intuitivamente ahora, sabemos que podemos hacer el segundo elemento del producto pequeño, porque tenemos el control directo en la elección de $\delta$$x-x_0$; la clave es el aviso de que debemos también cuenta el tamaño de $a^{x_0}$ (que es por lo que esta función no es uniformemente continua, pero eso es para otro día).
Vamos a jugar con la imagen distancia un poco:
$|a^x-a^{x_0}|=|a^{x_0}(a^{x-x_0}-1)|\leq a^{x_0}|a^{x-x_0}-1|$.
Puede tomar convencer a algunos, pero usted debe demostrar a ti mismo que $|a^y-1|\leq a^{|y|}-1$ (para empezar, mira aquí por lo menos la prueba gráfica de que funciona--nota que estoy implícitamente el uso de ese $a>1$).
Por lo tanto, $|a^x-a^{x_0}|\leq a^{x_0}(a^{|x-x_0|}-1),$ Y vemos exactamente lo que queremos: $|x-x_0|$.
Ahora elegimos la $\delta$ que va a girar a la DCHA arriba en $\varepsilon$ - podemos hacer esto mediante el establecimiento $\delta = \log_a (\frac{\varepsilon}{a^{x_0}}+1)$, por lo que:
$|a^x-a^{x_0}|<\varepsilon$ siempre $|x-x_0|$ es estrictamente menor que nuestro elegida $\delta$.
Para cualquier número real positivo a, ax se define como exp(x ln a) donde ln es la inversa de exp. Se puede demostrar que para cualquier 2 funciones f y g, si f es continua en R y g es una función lineal con un valor distinto de cero pendiente, f ∘ g es continua, entonces para cualquier número real positivo a, si exp(x) es continua en R, entonces exp(x ln a) es continua en R, pero unx = exp(x ln a) para unx es continua en R si exp(x) es continua en R. Exp(x) se define para ser la única función con dominio R, que es su propia derivada y asigna 1 a 0. Se puede demostrar que una función con la propiedad existe porque 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! ... tiene esa propiedad. También puede ser mostrado que la de cualquier función con la que la propiedad tiene una relación inversa con el dominio (0, ∞) y derivados 1/x encima de su dominio que asigna 0 a 1, pero de acuerdo a https://proofwiki.org/wiki/Zero_Derivative_implies_Constant_Function, de todas las funciones que tiene un 0 de derivados, en cualquier intervalo de tiempo es constante en ese intervalo, por lo que cualquiera de las dos funciones con dominio R, que son sus propios derivados y asignar 1 a 0 debe tener el mismo inversa y así debe de ser la misma función. Por lo tanto, no es exactamente una función de R en R que es su propia derivada y asigna 1 a 0, así que se puede llamar exp(x). Finalmente, para cualquier x, para cualquier δ en el intervalo (0, exp(x)), podemos elegir ɛ = δ/2exp(x) y exp de cualquier número real dentro de (x - ɛ, x + ɛ) será dentro de los (exp(x) - δ, exp(x) + δ) así que, por definición, exp(x) es continua. Finalmente, puesto que exp(x) es continua yx es continua para cualquier número real positivo una.
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