Hay una noción de curva elíptica sobre el campo con un solo elemento? Como he aprendido de una pregunta anterior, hay varias versiones diferentes de lo que el campo con uno de los elementos y los esquemas de lo que más debería ser (ver por ejemplo este artículo de Javier López Peña y Oliver Lorscheid). Lo que quiero saber es si hay una buena noción de curva elíptica sobre $F_{un}$? ¿Qué acerca de las formas modulares?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
En un sentido estricto, las curvas elípticas sobre los racionales (por ejemplo) no están definidos sobre $F_1$ desde su reducción modulo $p$ varía con $p$, por ejemplo, tienen lugares de mala reducción. Sin embargo, CM curvas elípticas tienen algunas de las propiedades que uno podría asociar con los objetos definidos en $F_1$. Por ejemplo, el L-función se ve un poco como el giro de una constante curva elíptica sobre un campo de función, excepto que el papel desempeñado por el personaje en realidad es desempeñado por un Hecke carácter. Así, en un sentido, de un CM de curva elíptica es el giro de una curva de más de $F_1$ por un Hecke personaje, aunque nunca he probado plenamente formalizar esta idea. Otra forma de ver esto es quizás a través de J. Borger del punto de vista en el que una variedad de más de $F_1$ es una variedad en la cual todos los Frobeniuses ascensor. Que tipo de pasa para el CM curvas elípticas.
Nils-Anders Nøttseter
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Como fue mencionado por otros, en la actualidad las variedades más $\mathbb F_1$ aspecto incómodo como tóricas de las variedades, o algo muy parecido a eso. Pero, claro, es una forma de pensar de una curva elíptica como una especie de "tóricas" variedad, mediante la Tate uniformización $E\ "="\ \mathbb G_m/\mathbb Z\ $! (Lo mismo para los de mayores dimensiones abelian varieites, el uso de la Mumford-Tate(-Faltings-Chai) uniformización.) Así que ahí tiene que haber una forma...
Dicho de otra manera, una curva elíptica es muy similar a$\mathbb P^1$, con dos puntos, $0$$\infty$, identificado. Ahora que es un objeto que está realmente definido a lo largo del $\mathbb F_1$.
Jay Mooney
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Los únicos lugares que soy consciente de dónde curvas elípticas y F_1 tienen un aspecto común son los artículos de texto de enlace (arXiv version2, no la más reciente) y el texto del enlace, tanto por la Restricción y Consani y ambos a unos diciendo lo mismo. En realidad no es sobre curvas elípticas más de Diversión, sino que en lugar de aplicar sus Fun-punto de las técnicas de conteo para curvas elípticas. La palabra de forma modular también se produce.
Mi sensación es que las curvas elípticas debe más bien a que no pertenecen a las cosas definidas sobre F_un. Si no en Connes/Consani de la configuración, a continuación, que no en cualquier lugar, ya que lo suyo es actualmente la más amplia noción de F_1-esquema (no estoy seguro, sin embargo, acerca de Soule y Connes/Consani el primer enfoque, que son difíciles de comparar con los otros)
Chad Cooper
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No es una buena idea (creo) de Limites y Consani: cada uno de sus $\mathbb{F}_1$-esquemas de un cambio de base de a $\mathbb{Z}$, que es un esquema.
No creo que ninguna de ellas se ha construido, y creo que algunos de los anteriores nociones enseñoreado de ellas (por ejemplo, uno de ellos sólo se permite tóricas de variedades). Connes y Consani parecen optimistas sobre su existencia (los enlaces en la respuesta de Pedro de llevar a ellos argumentando de forma heurística acerca de por qué sus funciones zeta ven bien), pero no veo ninguna señal de ellos de haber sido construido todavía.
grapefrukt
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En la mayoría de los esquemas actuales, es muy poco probable que las curvas elípticas definidas sobre F_1. Ciertamente no son en Deitmar o Toen-Vaquie, ya que limitar a tóricas de variedades. Para Soule/Limites-Consani viejas nociones, todos los ejemplos que se encuentran tan lejos que parecen venir de torified variedades (como se define por Oliver y a mí mismo en este papel. También en el CC nueva noción, hasta la torsión de la parte de la monoidal esquema de sus planes parecen ser generalizada torified (véase el Teorema 2.2, en la referencia que usted menciona). Pero todos torified esquemas racionales, para curvas elípticas no están allí.
Por otro lado, Manin estaba muy confiado en que el conjunto de la torsión de los puntos de una curva elíptica sería definir un modelo conveniente para él. Pero si ese fuera el caso yo no creo que encajaría CC modelos, sino más bien Manin/Marcolli metodología analítica, conjecturally relacionados con Borger, pero no hay una explicación clara sobre esa relación todavía.
