Algunas personas llaman a este corolario monotono teorema de convergencia. Por otra parte, algunos instructora introducir este corolario como M. C. T., en lugar de la versión origianl de M. C. T., por ejemplo, el Profesor Mark J. Schervish y el Profesor Alessandro Rinaldo CMU (apuntes de clase). Está bien porque este corolario es más fuerte y más práctico.
Sin embargo, desde la perspectiva de las matemáticas, creo que es mejor ser tradicional y el uso de la versión original de M. C. T. y sólo respecto que el corolario como una consecuencia útil.
Echemos un vistazo a la Lebesgue dominante del teorema de convergencia:
Supongamos $\{f_n\}$ $f$ son funciones medibles. Si existe un no-negativo de la función de $g$ tal que $\int g <\infty$$|f_n|\leq g$.e., para todos los $n$. A continuación, $f_n\overset{a.e.}{\rightarrow} f$ o $f_n\overset{\mu}{\rightarrow} f$ implica que
$$\lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f. $$
Ahora compara esto con el resultado que usted le da:
Supongamos $f$ es un valor no negativo medibles función, y $\{f_n\}$ una secuencia de no negativo funciones medibles con $f_n(x) \le f(x)$$f_n(x) \to f(x)$.e. $x$. A continuación,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int f_n = \int f$.
Podemos encontrar que al $\int f <\infty$, el resultado es implícita por la Lebesgue D. C. T. Al $\int f =\infty$, por Fatou el lema que hemos
$$\infty = \int f = \int \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n \leq \liminf_{n\rightarrow \infty} \int f_n\Rightarrow \int f_n\rightarrow \infty.$$
En resumen, este resultado parece más similar a D. C. T de M. C. T. Esta es una razón por la que no puede tomar el lugar de M. C. T.
La otra razón es más fundamental. Si echamos un vistazo a la prueba de la Fatou del lema, podemos encontrar que se basa en la monotonía de $g_{k} = \inf_{n\geq k}f_n$$g_k\nearrow \liminf_{n\rightarrow \infty} f_n$. Es decir, la Fatou del lexema es en realidad implícita por la M. C. T.
En otras palabras, M. C. T. es el más teorema fundamental, entonces el Fatou del lexema y, finalmente, el D. C. T. por lo Tanto, desde la perspectiva del matemático, es definitivamente mejor para el uso de la "versión ingenua" (en realidad, la única versión correcta) de la M. C. T., pero no la aparentemente más fuertes resultado que dan, que está implícito en el D. C. T. y Fatou del lexema.
Sin embargo, es cierto que el resultado que dan aquí es mucho más cómodo de usar que cualquiera de los M. C. T. o D. C. T. es por eso Que algunos instructores prefieren introducir este resultado como una sustitución para la M. C. T.
