Es el Nash Incrustación Teorema es un caso especial de la Whitney Incrustación Teorema?

Question

El Whitney Incrustación Teorema establece que cada liso colector puede ser incrustado en el espacio Euclidiano.

El Nash Incrustación Teorema establece que cada Riemann colector puede ser incrustado en el espacio Euclidiano.

Así que me pregunto: ¿puedo sentido del teorema de Nash como un caso especial del teorema de Whitney?

Answer 1

Solo para agregar algo a la de Jesse respuesta, la idea detrás de la prueba de la facilidad de Whitney Incrustación Teorema es colocar las diferentes piezas de la $ n $-dimensiones suave colector en general de la posición'$ \mathbb{R}^{2n + 1} $. La prueba no es muy difícil de seguir, creo que el Munkres hace un trabajo bastante bueno en su libro de Topología. El Duro Whitney Incrustación Teorema, que intenta incrustar un suave $ n $-dimensiones del colector en $ \mathbb{R}^{2n} $, requiere un técnico de la prueba. Una idea inteligente, llamado 'Whitney truco" hoy en día, es la idea principal detrás de la prueba. Aviso que no tenemos noción de la distancia en la general suave colector $ M $ menos que algunas de las métricas en $ M $ es especificado. Por lo tanto, ambas versiones de Whitney Incrustación Teorema de no hablar de la preservación de las distancias entre los puntos en la construcción de la necesaria suave de la incrustación.

El Nash de la Incrustación de Teorema, sin embargo, es mucho más difícil. No sólo debe incrustar el dado de Riemann colector en el espacio Euclidiano, debe hacerlo isométrico, es decir, de una manera que preserva distancias entre los puntos. Esto requiere la solución de un formidable sistema de ecuaciones diferenciales parciales que los rendimientos isométrica de la incrustación. Nash resuelto este PDE sistema con una versión especial de Newton de iteración del método, llamado el método de Newton con el post-acondicionado. Cuando no modificada, de Newton de iteración del método, en general, no converge a una solución, ya que cada paso de la iteración podría resultar en la pérdida de los derivados, es decir, el orden de la diferenciabilidad es reducido. Nash recuperado de la perdida de los derivados por la aplicación de suavizado de los operadores (que se define a través de la convolución) en cada paso de la iteración. Esto se asegura de que Newton de iteración del método en realidad convergen a una solución. La aplicación de un suavizado de operador en cada paso se llama post-acondicionado. Como se puede ver, Nash resultado es sin duda mucho más difícil y requiere más tecnología para demostrar que Whitney resultados.

Estos dos resultados también tienen diferentes naturalezas. El Whitney de Incrustación es el Teorema más topológico en carácter, mientras que el Nash Incrustación Teorema es una geométricas resultado (como se trata de métricas). Sin embargo, la estructura de suave colectores es lo suficientemente rígida para asegurarse de que ellos también son objetos geométricos (cf. mi comentario a continuación de Jesse respuesta), a la que Nash Incrustación Teorema se puede aplicar.

Answer 2

Realmente es al revés: Whitney del Teorema es (en cierto sentido) un caso especial de Nash del Teorema.

Whitney del Teorema dice que cada liso colector puede ser sin problemas incrustado en algún espacio euclidiano $\mathbb{R}^N$.

Nash del Teorema dice que cada Riemann colector puede ser isométricamente en algún espacio euclidiano $\mathbb{R}^N$, y por lo tanto sin problemas incrustado.

Si bien es cierto que cada colector de Riemann es (por definición) un suave colector, también es cierto que cada liso colector puede ser equipado con una métrica de Riemann (y así se convierte en una de Riemann del colector).