¿No es lo mismo una matriz no singular que una matriz invertible?

Question

Sobre un anillo arbitrario $R$ , una matriz $A$ se dice que es invertible si tiene un inverso con entradas en el mismo anillo. Esto sucede sif $\det A$ es una unidad de $R$ .

Siempre he pensado que los términos "invertible" y "no singular" son sinónimos. Pero creo que el siguiente problema (de Artin) sugiere que no lo son (al menos sobre un anillo arbitrario):

Dejemos que $\varphi: \mathbb Z^k\to \mathbb Z^k$ sea un homomorfismo dado por la multiplicación por una matriz entera $A$ . Demuestre que la imagen de $\varphi$ es de índice finito si y sólo si $A$ es no singular y que si lo es, entonces el índice es igual a $|\det A|.$

Si he entendido bien, en este contexto "no singular" significa $\det A\ne 0$ . Y esto no es lo mismo que invertible ya que si $A$ es invertible, entonces $\varphi$ es biyectiva, y la imagen es el conjunto $\mathbb Z^k$ .

Entonces, ¿tengo razón al decir que una matriz $A$ sobre un anillo $R$ es por definición no singular si $\det A\ne 0$ ? ¿Y ser no singular no implica ser invertible (a menos que el anillo subyacente sea un campo)?

Answer 1

Toma la matriz $$ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. $$ En $\mathbb{R}$ , esto tiene inversa $$ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. $$ Pero, no tendría ningún inverso en $\mathbb{Z}$ . Sin embargo, el núcleo del mapa seguiría siendo trivial, por lo que es no singular.

Answer 2

Una matriz $A$ se llama derecho-singular si $Ax=0$ tiene soluciones no triviales, izquierda-singular si $y^TA=0$ tiene soluciones no triviales, y singular si es a la vez singular a la izquierda y singular a la derecha.

Una matriz $A$ se llama invertible a la izquierda si tiene un inverso a la izquierda, derecho-invertible si tiene un inverso derecho, y invertible si es una matriz cuadrada que tiene inversa izquierda y derecha.

El determinante no interviene en las definiciones de estos dos conceptos. La definición habitual de determinante no se aplica en primer lugar si el anillo no es conmutativo.

Supongamos que $A$ es una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo $R$ para poder hablar de su determinante.

1. $A$ es invertible si y sólo si $\det A$ es invertible en $R$ . Es decir, $A$ es una unidad en $M_n(R)$ si y sólo si $\det A$ es una unidad en $R$ . Para la parte "sólo si", considere $\det(A)\det(A^{-1})=1$ para la parte "si", considere $A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I$ .

2. $A$ es singular si y sólo si $\det A$ es un divisor cero en $R$ . La parte "sólo si" se puede demostrar fácilmente de la siguiente manera. Supongamos que $Ax=0$ para algunos $x\ne0$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la primera entrada de $x$ es distinto de cero. Construir una matriz $B$ sustituyendo la primera columna de la matriz identidad por $x$ . Entonces $\det(B)\ne0$ pero $\det(A)\det(B)=\det(AB)=0$ porque la primera columna de $AB$ es cero.

   La prueba de la parte "si" es menos trivial. Véase, por ejemplo, el capítulo 9 de

   Brown W.C. (1993), Matrices sobre anillos conmutativos Marcel Dekker, Inc., Nueva York.

   Tenga en cuenta que $A$ puede ser singular aunque $\det A\ne0$ ; por ejemplo, sobre $R=\mathbb Z/4\mathbb Z$ tenemos $\pmatrix{3&1\\ 1&1}\pmatrix{2\\ 2}=0$ pero $\det\pmatrix{3&1\\ 1&1}=2\ne0$ . Mientras que el determinante ( $=2$ ) en este caso es distinto de cero, es un divisor cero.

3. De (1) y (2) se deduce que $A$ es invertible sólo si $A$ es no singular (una prueba más directa: $Ax=0\Rightarrow x=A^{-1}Ax=0$ ). Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, sobre $R=\mathbb Z$ cada número entero (que es un $1\times1$ matriz) $\ge2$ son no singulares pero no invertibles.

4. La invertibilidad a la derecha, la invertibilidad a la izquierda y la invertibilidad son equivalentes. También lo son la simularidad a la derecha, la simularidad a la izquierda y la singularidad. Por tanto, la afirmación de (2) puede reformularse como " $A$ es un divisor cero en $M_n(R)$ si y sólo si $\det A$ es un divisor cero en $R$ ."