Prueba que P es un conjunto parcialmente ordenado.

Question

Deje $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ tal que $$A^2+B^2=\sqrt{2+\sqrt{2}}\cdot AB$$ Sabiendo que $\det(AB-BA)>0$, demuestran que, a $n$ es múltiplo de $16$.

Sé que para este tipo de problemas, por lo general se utiliza algunas identidades tales como $$(A+iB)(A-iB)=c(AB-BA)$$ and its conjugate, where $c$ is a complex number and since $a,B$ are real matrices, their determinants will be positive real numbers. Since $\det(AB-BA)>0$, that will lead to $c^n=0$ and with the help of some trigonometry it would follow that $$ n es un múltiplo de algo.

Aquí, sin embargo, no podía obatain la identidad que he descrito. Que la raíz cuadrada de puntos, a pesar de que, exactamente a este método y algo de trigonometría.

Answer 1

Nos muestran que si $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ satisfacer la ecuación anterior y s son.t. $\det(AB-BA)\not= 0$ ,$n=0 \;mod(8)$.

Prueba. Deje $\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2}},\beta=\sqrt{2-\sqrt{2}}$. Utilizando el método que he descrito en mi post en $\det(AB-BA)=0$? o en $A^2-B^2=\alpha(AB-BA)$

ponemos a $A=uX+vY,B=wX+xY$ donde $w=x=2,u=\alpha+i\beta,v=\alpha-i\beta$. A continuación, $AB-BA=(ux-wv)(XY-YX)$ donde $ux-wv=4i\beta$. Por lo tanto $\det(XY-YX)\not= 0$.

Se considera la ecuación se convierte en $XY=-e^{3i\pi/4}YX$. En consecuencia,$\det(XY-YX)=\det((-e^{3i\pi/4}-1)YX)$$\det(YX)=\det(XY)\not= 0$.

Desde $\det(XY)=(-1)^ne^{3in\pi/4}\det(XY)$, podemos deducir que $(-1)^ne^{3in\pi/4}=1$$n=0\; mod(8)$.