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Question

Estoy intentando resolver Ch 14 Problema 7.7 de Artin de álgebra de libro.

Deje $R=\mathbb{Z}[i]$ y deje $V$ ser el R-módulo generado por los elementos de a $v_1$ $v_2$ relaciones $(1+i)v_1+(2-i)v_2=0$$3v_1+5iv_2=0$. Escribir este módulo como una suma directa de cíclico de los módulos.

Intento

He obtenido $V\cong R^2/ \begin{bmatrix} 1+i & 3 \\ 2-i & 5i \end{bmatrix} R^2 \cong R/[8+11i]R=\mathbb{Z}[i]/(8+11i)$.

Ahora, veo que $(1+2i)(6-i)=8+11i.$ Ahora, me gustaría mostrar que $\mathbb{Z}[i]/(1+2i) \oplus\mathbb{Z}[i]/(6-i)\cong\mathbb{Z}[i]/(8+11i)$, así que puedo tener $V$ como una suma directa de cíclico módulos como sea necesario, pero ¿cómo puedo mostrar esto?

Ya he demostrado que $(1+2i,6-i)=(1)=\mathbb{Z}[i]$ e lo $(1+2i)+(6-i)=\mathbb{Z}[i]$. La intuición podría sugerir que a $(1+2i)\oplus(6-i)=\mathbb{Z}[i]$, aunque creo que esto es falso, ya $(i-6)(1+2i)+(1+2i)(6-i)=0$.

Debo confesar que soy muy nuevo en el módulo de teoría, así que por favor sea paciente conmigo. No quiero ni cómo iba a ser posible tener $\mathbb{Z}[i]/(1+2i) \oplus\mathbb{Z}[i]/(6-i)\cong\mathbb{Z}[i]/(8+11i)$ desde $\mathbb{Z}[i]/(1+2i)$ $\mathbb{Z}[i]/(6-i)$ ni siquiera los submódulos de la misma serie.

Answer 1

Además de todo lo dicho en los comentarios, sólo quería comentar una cosa más que puede ser útil sobre tu último párrafo sobre el hecho de que $\mathbb{Z}[i]/(1+2i)$ $\mathbb{Z}[i]/(6-i)$ no submódulos de algún módulo común.

Como se ha indicado en los comentarios, el producto de los anillos obtenidos a partir del teorema del resto chino es, en particular, un producto de los módulos, es decir, una suma directa, por lo que este funciona perfectamente bien. El punto que yo quería añadir: Si usted desea, usted todavía puede ver tanto los factores como los submódulos de $\mathbb{Z}[i]/(8+11i)$ por la siguiente observación:

Considerar un producto directo de los anillos (conmutativa con $1$), $R=R_1\times R_2$. A continuación, puede ver cualquier $R$-módulo de $M$ como una suma directa de submódulos $M_1,M_2\subset M$ donde $M_i$ $R_i$- módulo (así, en particular, de nuevo un $R$-módulo) por $i=1,2$, es decir, conjunto de $M_1:=(1,0)\cdot M\subset M$ $M_2:=(0,1)\cdot M\subset M$ , luego $$M=M_1\oplus M_2$$ como $R$-módulo. (Por cierto, el procedimiento inverso funciona así, si $\tilde M_1$ $\tilde M_2$ $R_1$ - resp. $R_2$-módulos, a continuación, ellos, en particular, son tanto $R$-módulos, a través de $(r_1,r_2)\cdot m_1:=r_1m_1$$m_1\in \tilde M_1$$(r_1,r_2)\cdot m_2:=r_2m_2$$m_2\in\tilde M_2$, por lo que uno puede aumentar el $R$-módulo de $\tilde M=\tilde M_1\oplus\tilde M_2$. Esto también se describe en esta pregunta/respuesta.)

Aplicar a su situación: Como usted ya ha demostrado $$R:=\mathbb{Z}[i]/(8+11i)\simeq \underset{=:R_1}{\underbrace{\mathbb{Z}[i]/(1+2i)}}\times\underset{=:R_2}{\underbrace{\mathbb{Z}[i]/(6-i)}},$$ ahora nos gustaría encontrar elementos en $e_1,e_2\in R$ tal que $e_1$ corresponde a $(1,0)\in R_1\times R_2$ $e_2$ corresponde a $(0,1)$. Para encontrar a aquellos, utilizamos el algoritmo de Euclides para obtener $$1=\underset{=:e_2}{\underbrace{(1-3i)(1+2i)}}+\underset{=:e_1}{\underbrace{(-1)(6-i)}}.$$ Así, podríamos escribir $R$ como la suma directa de $R$-submódulos $$R=e_1R\oplus e_2R=(7-i)R\oplus (i-6)R.$$ (Naturalmente, como un $R$-módulo de esto es naturalmente isomorfo a la versión anterior $R=R_1\oplus R_2$ $e_i\cdot(\bullet)\colon R_i\rightarrow e_iR$ es un isomorfismo de $R$-módulos, $i=1,2$ - simplemente pensé que este punto de vista ligeramente diferente que podría ayudar a sentirse más cómodo con la situación...)