¿Cuáles son las

Question

Me gustaría encontrar los cuatro unidades independientes en (el anillo de los enteros de ) $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \subseteq \mathbb{R}$ también Tenemos que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \simeq \mathbb{Q}[x,y]/(x^2 - 2, y^2 - 3)$, como una extensión de campo.

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Yo sólo quiero encontrar la Norma, $\mathfrak{N}(x)$$x = a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d\sqrt{6} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$. Los conjugados son como este:

$$ \big(a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d + \sqrt{6}\big) \big(a - b \sqrt{2} + c \sqrt{3} - d\sqrt{6}\big) \big(a + b \sqrt{2} - c \sqrt{3} - d\sqrt{6}\big) \big(a - b \sqrt{2} - c \sqrt{3} + d + \sqrt{6}\big)$$

Si multiplicamos todos los cuatro de estas cosas, obtenemos un lío. He utilizado sympy: $$ a^4 - 4\,^2b^2 - 6\,^2c^2 - 12\,^2d^2 + 48\,abcd + 4\,b^4 - 12\,b^2c^2 - 24\,b^2d^2 + 9\,c^4 - 36\,c^2d^2 + 36\,d^4 $$ En su lugar, podemos reordenar los términos que se ve casi manejable: $$ (a^4 + 4\,b^4 + 9\,c^4 + 36\,d^4)- (4\,a^2 b^2 + 6 \, a^2 c^2 + 12\,a^2 d^2 + 12\,b^2c^2 + 24\,b^2 d^2 + 36\, c^2 d^2 ) + (48\, abcd)$$ y de Dirichlet de la Unidad teorema dice que podemos encontrar enteros $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ tal de que esta cosa $=1$.

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Afortunadamente, me pueden encontrar dos subcampos del palo: $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbb{Q}(\sqrt{2})] = 2$ $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}): \mathbb{Q}(\sqrt{3})] = 2$ y obtenemos que :

$$ 1, 3 + 2\sqrt{2}, 2 + \sqrt{3} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) $$ todavía son unidades en este cuártica campo ( Pell Eq). Hay uno a la izquierda. Que es?

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Relacionado con:

• Es $\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbf{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$?

Answer 1

Una forma de comprobar que Pell unidad proporcionada por @Rene Schipperus es de hecho independiente de los otros Pell unidades. Para asumir que tenemos $$(3+2\sqrt{2})^m(2+\sqrt{3})^n(5+2\sqrt{6})^p=1$$ La aplicación de los mapas de Galois $\sqrt{2}\mapsto - \sqrt{2}$ ,$\sqrt{3}\mapsto - \sqrt{3}$ tenemos $$(3-2\sqrt{2})^m(2-\sqrt{3})^n(5+2\sqrt{6})^p=1$$ así $$(3+2\sqrt{2})^m(2+\sqrt{3})^n=(3-2\sqrt{2})^m(2-\sqrt{3})^n$$ y por lo tanto $$\left(\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\right) ^m=\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n$$ por lo tanto debe estar en $\mathbb{Q}$, ya que el $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}(\sqrt{3})=\mathbb{Q}$. Ahora, de $\left(\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\right) ^m \in \mathbb{Q}$, aplicando la Galois mapa de $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$ llegamos a la conclusión de que $$\left(\frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}\right) ^m=\left(\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\right) ^m$$ por lo que el valor común debe ser $\pm 1$. Llegamos a la conclusión de que $m=0$. Del mismo modo obtenemos $n=0$.

AÑADIDO: el Uso de WolframAlpha llegué a este resultado. La sorpresa fue $$2+\sqrt{3}=\left(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\right )^2$$ Por otra parte, las unidades $$1+\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2}+\sqrt{3}$$ forman un sistema fundamental.

Tenga en cuenta que $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Answer 2

La unidad fundamental de$\mathbb{Q}(\sqrt{6})$ es$$5+2\sqrt{6}$ $ ¿Esto ayuda?