Secuencia de funcionales lineales en $\ell^{\infty}$

Question

Estoy teniendo problemas con esta pregunta.

Deje $X$ ser una normativa espacio y deje $T : X\to \ell^{\infty}$ ser un delimitada operador lineal.

$a)$ Muestran que hay una secuencia $(f_n)_n$$X^*$, de modo que $Tx=(f_n(x))$ todos los $x \in X.$

$b)$ Supongamos que $X$ es un subespacio de una normativa espacio de $Y$. Demostrar que existe una limitada lineal operador $S: Y\to \ell^{\infty}$, de modo que $||S||=||T||$ y $Sx = Tx$ todos los $x \in X$

No estoy seguro de cómo empezar con la pregunta $a)$.

Para $b)$, traté de encontrar una $P: \ell^{\infty}\to \Bbb{R}$, de modo que la función de composición $PT: X\to \Bbb{R}$ es un delimitada lineal funcional. A continuación he aplicado la de Hahn-Banach extensión del teorema de decir que existe un $PS: Y\to \Bbb{R}$ que es un delimitada lineal funcional tal que $PS(x)=PT(x)$ todos los $x \in X$. Y entonces me quedé atrapado.

Por favor me aconseje sobre lo que debe hacer. Gracias.

Answer 1

una. Deje $f_n = \operatorname{proj}_n \circ T$ todos los $n \in \Bbb{Z}$ donde $\operatorname{proj}_n: \ell^\infty \to \Bbb{R}$ denota la proyección de una bidireccional de la secuencia en su $n$-ésimo componente. Claramente, $\operatorname{proj}_n$ es un delimitada operador lineal en $\ell^\infty$, por lo que la composición $f_n = \operatorname{proj}_n \circ T$ de los delimitada lineal de los operadores es de nuevo un delimitada operador lineal. Esto demuestra que $f_n \in X^*$. Por construcción, $Tx = (f_n(x))_n$ todos los $x \in X$.

b. Aplicar Hahn-Banach extensión del teorema sobre la $f_n \in X^*$ por cada $n \in \Bbb{Z}$ obtener su extensión $g_n \in Y^*$, de modo que $g_n|_{X} = f$$\lVert f_n \rVert = \lVert g_n \rVert$.

Construcción $S:Y \to \ell^\infty$ de las componentes. es decir, $S(y) = (g_n(y))_{n \in \Bbb{Z}}$ todos los $y \in Y$. Tenemos que mostrar que $S$ está bien definido. (La salida de $S$ se encuentra en $\ell^\infty$.)

$$\sup_{n \in \Bbb{Z}} |g_n(y)| \le \sup_{n \in \Bbb{Z}} \lVert g_n \rVert \lVert y \rVert = \sup_{n \in \Bbb{Z}} \lVert f_n \rVert \lVert y \rVert \le \sup_{n \in \Bbb{Z}} \lVert \operatorname{proj}_n \rVert \lVert T \rVert \lVert y \rVert = \lVert T \rVert \lVert y \rVert$$

La linealidad de la $S$ es evidente a partir de la de $g_n$, y el acotamiento de $S$ sigue de la desigualdad anterior. $S|_X = T$ sigue de $g|_X = f$. Tenemos $\lVert S \rVert \le \lVert T \rVert$, y se queda a mostrar el reverso de la desigualdad. Esto no es difícil de $S|_X = T$ y la definición de $\lVert \cdot \rVert_\infty$.

$$\lVert Tx \rVert = \lVert Sx \rVert \le \lVert S \rVert \lVert x \rVert \quad\forall\,x \in X$$

Dado que el dominio de $T$ es el subespacio $X$, llegamos a la conclusión de que $\lVert T \rVert = \lVert S \rVert$. $\tag*{$\plaza de$}$