Valor mínimo de $p^2+q^2+r^2+s^2$.

Question

Si $p,q,r,s>0$$(p+q)(q+r)(r+s)(s+p)=16$$pq+qr+rs+sp=2$.

A continuación, el valor mínimo de $(p^2+q^2+r^2+s^2)$

Probar: el uso de Cauchy Schwarz Desigualdad

$(p^2+q^2+r^2+s^2)(q^2+r^2+s^2+p^2)\geq (pq+qr+rs+sp)^2=4$

Pero la respuesta dada como $6$. Alguien podría ayudarme a resolverlo. Gracias

Answer 1

Escribir $p^2 + q^2 + r^2 + s^2 = X$. A continuación, $$2X + 2(pq+qr+rs+sp) = (p+q)^2 + (q+r)^2 + (r+s)^2 + (s+p)^2 = 2X + 4$$.

Escribir $a = p+q, b = q+r, c= r+s, d = s+p$, luego por AM-GM en $a^2,b^2,c^2,d^2$ vemos que $a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 4 \sqrt[4]{(abcd)^2} = 16$.

Por lo tanto, $2X+4 \geq 16$, e $X \geq 6$.

La igualdad se alcanza, precisamente cuando todos los términos en el AM-GM son iguales, es decir,$p=r,q=s$, en cuyo caso $p+q = 2$$pq = \frac 12$. Resolver para obtener $p,q = 1 \pm \frac 1{\sqrt 2}$, en el que, de hecho, $X= 6$ es obtenido. Por lo tanto, el valor mínimo es de $X = 6$.