Encuentre el número de formas en que 6 personas de cada 5 hombres y 5 mujeres puede estar sentado en una mesa redonda tales que 2 hombres nunca están juntos.

Question

Encuentre el número de formas en que 6 personas de cada 5 hombres y 5 mujeres puede estar sentado en una mesa redonda tales que 2 hombres nunca están juntos.

---

Mi intento:

6 personas 3 hombres y 3 mujeres, 2 hombres y 4 mujeres o 1 hombre y 5 mujeres. A continuación, por el método del déficit, 3 hombres y 3 mujeres puede estar sentado en $\binom{5}{3}2!3!=120$ maneras.
2 hombres y 4 mujeres, puede estar sentado en $\binom{5}{4}3!\frac{4!}{2!}=360$ formas
1 hombres y 5 mujeres puede estar sentado en $\binom{5}{5}4!\frac{5!}{4!}=120$ formas

Por lo que el número total de maneras en que es de 600, pero la respuesta dada en mi libro es de 5400. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

La etiqueta de las sillas de$1$$6$, en orden creciente, de la etiqueta de los hombres y las mujeres de $1$$5$. Considerar tres casos:

1) no Hay hombre 1: escoger a un hombre en $5$ formas, colocar al hombre en silla de $1$, y permutar las $5$ de mujeres en el resto de sillas en $5!$ maneras. Por lo tanto, el número de maneras es $5\cdot 5!=600$.

2) Hay 2 hombres: elegir dos hombres en $\binom{5}{2}$ formas, colocar al hombre con la más pequeña etiqueta en la silla 1 y el otro en la silla $3$, $4$ o $5$ ($3$ maneras), elija cuatro mujeres en $\binom{5}{4}$ formas y colocarlos en el resto de sillas en $4!$ maneras. Por lo tanto, el número de maneras es $\binom{5}{2}\cdot 3\cdot \binom{5}{4}\cdot 4!=3600$.

3) Hay 3 hombres: elija tres hombres en $\binom{5}{3}$ formas, colocar al hombre con la más pequeña etiqueta en la silla 1, y el otro en silla de $3$ y $5$ ($2$ maneras), elija tres mujeres en $\binom{5}{3}$ formas y colocarlos en el resto de sillas en $3!$ maneras. Por lo tanto, el número de maneras es $\binom{5}{3}\cdot2 \cdot \binom{5}{3}\cdot 3!=1200$.

Por lo tanto el número total de maneras en que se $600+3600+1200=5400$.

Answer 2

Usted se olvidó de incluir el número de maneras en que los hombres pueden ser seleccionados. En este caso, se obtiene:

$${5 \choose 3}{5 \choose 3}2!3! = 1200$$ $${5 \choose 2}{5 \choose 4}3!\frac{4!}{2!} = 3600$$ $${5 \choose 1}{5 \choose 5}4!\frac{5!}{4!} = 600$$

Esto se traduce en un total de $1200 + 3600 + 600 = 5400$ posibilidades.

Answer 3

La pregunta es incompleta. La pregunta no especifica si los asientos están etiquetados, de tal manera que un cambio cíclico de la gente sentada en la mesa cuenta como una de asientos diferentes. Si los asientos no están etiquetados, cambios cíclicos resultado sería el mismo de estar como antes de los cambios cíclicos. Así que sin etiquetas en cada uno de los asientos de la mesa redonda,

$m_1 f_1 m_2 f_2 m_3 f_3 == f_1 m_2 f_2 m_3 f_3 m_1$

pero con etiquetas que no es cierto, porque podemos ver que en el lado izquierdo en el primer asiento es tomado por m_1, considerando que es tomado por f_1 en el lado derecho. (Asumiendo que se eligió a hombres, de la 1 a la 3 y a las mujeres de 1 a 3).

Yo diría que los asientos están etiquetados, porque en el mundo real de la mesa se encuentra en una sala donde los asientos pueden ser etiquetados con la posición en la habitación.

Para el caso de 3 hombres, si los asientos están etiquetados, hay

$${5 \choose 3}{5 \choose 3}6 * 3 * 2 * 2 = 7200$$

posibilidades, pero si no están etiquetados, hay

$${5 \choose 3}{5 \choose 3}2!3! = 1200$$

Este resultado está de acuerdo con el hecho de que hay 6 posibles cambios en una tabla de 6 y 7200/1200 = 6.