La ecuación de $x^{\frac{n+1}{n}}=x+1$

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. ¿Cuál es el valor positivo de la $x$ tal que $x^{\frac{n+1}{n}}=x+1$?

Esta ecuación tiene una única solución, ya que la función $x^{\frac{n+1}{n}}-x$ es cada vez mayor. Sin embargo, no estoy seguro de si podemos llegar a una forma cerrada para $x$. Si no, ¿a qué velocidad $x_n$, la solución para $n$, crece asintóticamente en términos de $n$?

Answer 1

Podemos suponer $n\geq 2$.
De curso $x^{\frac{n+1}{n}}=x+1$ tiene una única solución positiva, ya que $x^{\frac{n+1}{n}}$ es creciente y convexa.
Deje $x=z^n$. El problema se reduce a resolver $$ z^{n+1} = z^n+1 $$ y podemos observar que la $z^{n+1}-z^n-1$ es negativo en $z=1$ y positivo en $z=1+\frac{\log n}{n}$.
Aplicando el método de Newton con el punto de partida $z_0=1+\frac{\log n}{n}$ podemos derivar precisa de aproximaciones para el real positivo de la raíz de $z^{n+1}+z^n-1$ y el comportamiento asintótico de la real positivo de la raíz de $x^{\frac{n+1}{n}}=x+1$, que tiene que estar cerca a $\frac{n}{\log n}$.

Answer 2

Elevar a la alimentación de $n$, tanto de los lados.

Consigue $$x^{n+1}=(1+x)^n$$

Que, en mayor simplificación, es un polinomio en a $x$, con grado de $n+1$.

Lamentablemente, no tenemos ninguna fórmula general para la solución de este polinomio, a menos que sea una ecuación cuadrática o cúbica. (Para el cuarto grado, la fórmula es demasiado tedioso)

Aunque, aproximaciones numéricas de tener siempre la espalda $\ddot \smile$

Answer 3

Asintóticamente, La solución de $x$ crece como $n/\ln n$. Para ver esto, escribir la ecuación original como$$\frac1n\ln x=\ln\left(1+\frac1x\right).$$Since $x>1$, the RHS may be expanded as a power series:$$\frac1n\ln x=\frac1x-\frac1{2x^2}+\frac1{3x^3}-\cdots.$$ As $n$ increases, so must $x$, and asymptotically we get $x\ln x\sim n$, which implies $$x\sim\frac n{\ln n}\quad(n\to\infty),$$since $(\ln\ln n)/\ln n\to0$ as $n\to\infty$.

Answer 4

Si $n=1$, entonces tenemos $$x^2= x+1$$ so $$x^2-x-1=0 \Longrightarrow x_{1,2}= {1\pm \sqrt{5}\over 2}$$

Answer 5

De hecho, las soluciones de este tipo de trinomio polinomios había sido resuelto bastante tiempo atrás, alrededor de (1990), y en general de una solución más general en el estándar moderno notaciones matemáticas, donde una fórmula general que se había descubierto y anunció públicamente para que este general trinomio polinomio de n-esima grado $$ax^n + bx^m + c = 0$$, where ($n > m$) are positive integers, ($abc \neq 0$) are rational numbers, so it is so easy task now to apply it for our particular question by noting that ($a = - b = -c = 1$), and applying the reduced or simplified form for $$z^n + z^m = 1$$, proporcionado por Jack por encima de

$$ \begin{align} z &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \prod_{i=1}^{k-1}(km-in+1)}{k!n^k} \\ &= 1-\frac{1}{n}+\frac{2m-n+1}{2!n^2}- \frac{(3m-2n+1)(3m-n+1)}{3!n^3} +\frac{(4m-3n+1)(4m-2n+1)(4m-n+1)}{4!n^4} -\frac{(5m-n+1)(5m-2n+1)(5m-3n+1)(5m-4n+1)}{5!n^5} +\dotsb \end{align}$$

La sustitución de ($m = n – 1$), obtenemos:

\begin{align} z &= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \prod_{i=1}^{k-1}(k(n – 1)-in+1)}{k!n^k} \\ &= 1-\frac{1}{n}+\frac{n - 1}{2!n^2}- \frac{(n-2)(2n-2)}{3!n^3} +\frac{(n-3)(2n-3)(3n-3)}{4!n^4} -\frac{(n-4)(2n-4)(3n-4)(4n-4)}{5!n^5} +\dotsb \end{align}$$

Sin embargo, esta forma de serie se pueden reducir más, más, en muchos casos interesantes

Ref. 1) : http://opac.nl.gov.jo/uhtbin/cgisirsi.exe/ehPMOCoYli/MAIN/95070003/123

Ref. 2) : http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1574983