Dejemos que $a>0$ . Cómo podemos encontrar el límite de :
$$\sqrt{a+\sqrt{2a+\sqrt{3a+\ldots}}}$$
Gracias de antemano por su ayuda
En realidad fue el sobrino de kasner (9 años en ese momento) quien dio $10^{100}$ su nombre elegante
Respuestas
¿Demasiados anuncios?En general, esto no se sabe (que yo sepa, al menos). Esta es una extensión del llamado Número de Kasner, y hay un buen documento sobre los problemas de encontrar formas cerradas del Número se puede encontrar aquí (el documento también analiza los radicales anidados infinitos).
Esta secuencia sí converge, al menos. Es monótona creciente y acotada, así que es útil.
Como nota interesante, mucha gente conoce la obra de Kasner sin saberlo. Fue Kasner quien dio el nombre de "googol" al número 1 seguido de 100 ceros. Genial.
Mingo
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Para el caso $a=1$ , ver Secuencia OEIS A072449 .
Beni Bogosel
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Definir $a_n$ para ser la secuencia presentada. Entonces tenemos lo siguiente (para $n$ lo suficientemente grande como para que $an>1$ ): $$ a_n < \sqrt{1+\sqrt{2+..+\sqrt{(n-1)a+na}}}\stackrel{not}=b_n$$
$$b_{n+1}=\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{(n-1)a+\sqrt{na+(n+1)a}}}} $$
Para $n$ lo suficientemente grande tenemos que $b_{n+1}\leq b_n$ desde $na\geq \sqrt{(2n+1)a}$ para $n \geq N_0$ . Desde $a_n$ está limitada por encima por una secuencia decreciente, y $(a_n)$ es claramente creciente, es convergente. Sin embargo, creo que su límite no tiene una forma cerrada. Incluso el caso $a=1$ presentada en la otra respuesta no tiene una forma cerrada.
Josh
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Definir la secuencia $a_n$ recursivamente por:
$a_1$ := $\sqrt{a}$
$a_n$ = $\sqrt{a+a_{n-1}}$
Esta secuencia es monótona no decreciente, y acotada por lo que el límite existe, y es igual a y.
Ahora utiliza el hecho de que $\sqrt{x}$ es continua para $x>0$ para que sea secuencialmente continua;
entonces, lim
$\ \lim_{x\to\infty} \sqrt{a + \sqrt{a_{n-1}}} $ =
$\sqrt{\ \lim_{x\to\infty}(a+\sqrt{a_{n-1}}) }$ =
$\sqrt{a+\sqrt{\ \lim_{x\to\infty}(a_{n-1})}}$
Por convergencia, $a_{n-1}\rightarrow$ y
¡Vaya, creo que por fin tengo el formato correcto!. Estoy tan agotado que me echaré una siesta durante toda la semana.
Está definiendo una secuencia diferente: $\sqrt{a + \sqrt{a + \dots}}$ ¿No es así? Lo que has definido tiene una forma cerrada, como la raíz de una cuadrática, creo. Ver: math.stackexchange.com/questions/11945/
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Véase es.wikipedia.org/wiki/radical anidado (aunque sólo sea para una introducción general)
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Y mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html Las fórmulas 26-28 tienen cierto parecido
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Definir una secuencia de forma recursiva. Entonces puedes demostrar que la secuencia es monótona creciente (ya que asumiste a>0), de modo que el límite existe. Entonces, por continuidad de sqr, puedes introducir el límite dentro de la raíz cuadrada, y utilizar el hecho de que $a_{n-1} \rightarrow {a_n}$
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¿Qué quiere decir con límite? Su expresión parece estar entre $\sqrt{a} +\sqrt{1/2}$ y $2a+1$ acercándose al límite inferior como $a$ aumenta y el límite superior como $a$ disminuye hacia $0$ .
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@Henry: Definir $x_n = \sqrt{a + \sqrt{2a + \sqrt{\dots + \sqrt{na}}}}$ .
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Vea la respuesta de Bill Dubuque aquí: math.stackexchange.com/questions/7204/limit-of-nested-radical/ que menciona el resultado de Vijayaraghavan.