Edit: respuesta Corta: Si asumimos como sabe que
$$\tag{1}\chi(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}(m))=\binom{n+m}{n},$$
a continuación, podemos utilizar inmediatamente la secuencia exacta corta
$$0\rightarrow \mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}(-d)\rightarrow\mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}\rightarrow i_\ast\mathscr{O}_C\rightarrow 0,$$
(que corresponde, en el nivel de graduados módulos, a $0\rightarrow S(-d)\overset{f\cdot}{\rightarrow}S\rightarrow S/(f)\rightarrow 0$), sus respectivos turnos y la aditividad de la característica de Euler para el efecto de que
$$\chi(\mathscr{O}_C(m))=\chi(i_\ast\mathscr{O}_C(m))=\chi(\mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}(m))-\chi(\mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}(m-d))$$
para cualquier $m$, en particular,
$$\deg(C)=\chi(\mathscr{O}_C(1))-\chi(\mathscr{O}_C)=\binom{2+1}{2}-\binom{2+1-d}{2}-1+\binom{2-d}{2}=d$$
Otro edit: me di cuenta que realmente no les gusta mi respuesta anterior, así que me reemplace el resto de ella con sólo una prueba de (1), para la integridad. Recordemos la definición de la polinomio de Hilbert:
El Polinomio de Hilbert $P_{\mathscr{F}}(X)\in\mathbb{Q}[X]$ para algunos coherente $\mathscr{O}_{\mathbb{P}_K^n}$-módulo de $\mathscr{F}$ es el único polinomio de satisfacciones
$$P_{\mathscr{F}}(r)=\dim_k(H^0(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{F}(r)))$$
para todos los $r\gg 0$ (es decir, para todos los $r\geq r_0$ fijos $r_0$).
Ahora, considere la posibilidad de $\mathscr{F}:=\mathscr{O}(m)$ (escrito $\mathscr{O}:=\mathscr{O}_{\mathbb{P}_k^n}$ como una taquigrafía) y escribir $S:=k[x_0,\ldots,x_n]$ para la homogeneidad de las coordenadas del anillo. Entonces, para $r\geq -m$, tenemos (contando el número de polinomios de los respectivos grado en $n+1$ variables)
$$\dim_k(H^0(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{O}(m+r)))=\dim_k(S_{m+r})=\binom{n+m+r}{n}, $$
que claramente es un polinomio en a $\mathbb{Q}[r]$. Por otro lado, el mapa
$$r\mapsto \chi(\mathscr{O}(m+r))$$
es conocido por ser un polinomio (como una suma de los coeficientes binomiales que contiene números enteros y $r$), por lo que en el fin de verificar
$$\chi(\mathscr{O}(m+r))=P_{\mathscr{O}(m)}(r)=\binom{n+m+r}{n}\quad\text{for all }r\in\mathbb{Z}, $$
lo que da el resultado deseado para $r=0$, sin duda es suficiente para demostrar que ambos lados están de acuerdo en un número infinito de números enteros $r\in\mathbb{Z}$. Pero para $m>n$, ciertamente sabemos que $H^j(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{O}(m))=0$ todos los $j>0$, lo que para cualquier $r>m-n$, tenemos
$$\chi(\mathscr{O}(m+r))=\sum(-1)^j\dim_k(H^j(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{O}(m+r)))=\dim_k(H^0(\mathbb{P}_k^n,\mathscr{O}(m+r)))=P_{\mathscr{O}(m)}(r).$$
