¿Qué hay de esto? Por Noether normalización, después de un genérico de cambio de coordenadas, nuestra curva de $C$ es de la forma
$$y^d + f_1(x) y^{d-1} + \cdots + f_d(x)=0$$
para varios polinomios $f_j$.
Deje $\Delta(x)$ ser el discriminante de este polinomio como un polinomio en $y$. Desde $f$ es squarefree como un polinomio en $\mathbb{C}[x,y]$, sabemos que $\Delta(x)$ no es idéntica a cero. Por lo que tiene un número finito de ceros $z_1$, $z_2$, ..., $z_N$. Deje $U = \mathbb{C} \setminus \{ z_1, z_2, \ldots, z_N \}$. Para$x \in U$, $d$- distintas raíces $y$ de los de arriba polinomio.
Deje $\pi$ ser la proyección en el $x$-coordinar. Entonces el teorema de la función implícita muestra que $\pi^{-1}(U) \to U$ $d$veces cubriendo mapa. Queremos mostrar a $\pi^{-1}(U)$ está conectado. Supongamos que no. A continuación, se rompe en componentes $Y_1$, $Y_2$, ..., $Y_r$ que cubren $U$ con grados $k_1$, $k_2$, ..., $k_r$ donde $\sum k_i = d$.
Elegir un componente $Y$$\pi^{-1}(U)$, $Y \to U$ grado $k$.
Para$1 \leq j \leq k$$x \in U$, vamos a $e_j(x)$ $j$- th primaria simétrica de la función en el $y$-coordenadas de la $k$$Y \cap \pi^{-1}(x)$.
La función de $e_j$ es holomorphic en $U$. En las perforaciones $z_1$, ..., $z_N$, la función de $e_j$ es acotado, ya que $C \to \mathbb{C}$ es adecuado. Así que, por la extensión de Riemann teorema, $e_j$ se extiende a un holomorphic función sobre todo de $\mathbb{C}$. También, $e_j$ es un polinomio en algebraicas (varios valores) funciones, por lo que su tasa de crecimiento ($|x| \to \infty$ está delimitado por $|x|^N$ algunos $N$. Vemos que $e_j(x)$ es una función acotada por un polinomio, por lo que es un polinomio. Por lo tanto, $y^k - e_1(x) y^{k-1} + \cdots \pm e_k(x)$ es un polinomio de grado $k$ de fuga en $Y$.
Podemos repetir esta operación para cada componente $Y_i$, y obtener un polinomio $g_i(x,y)$ $y$grado $k_i$ fuga en los puntos correspondientes de la cubierta de la $\pi^{-1}(U) \to U$. A continuación, $\prod g_i(x,y)$ se desvanece en todos los de $\pi^{-1}(U)$, y por lo tanto es divisible por $f$. Desde $f$ $\prod g_i(x,y)$ tienen el mismo $y$-grado, son proporcionales. Esto le da un trivial de la factorización de $f$, dando a nuestros contradicción.
