Ejemplos $$\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}$$ $$\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}$$
Hay muchos más por ahí, pero ¿por qué necesitamos definiciones que pueden ser escritas con sólo $\sin , \cos ,\tan $ etc. en matemáticas? ¿Por qué no pueden simplemente ser escrito como su forma expandida?
La mayoría de las funciones trigonométricas pueden ser escritas con sólo $\sin \cos$$\tan$. ¿Por qué necesitamos tantos?
Además, me refiero a todas las definiciones.
Hay un montón de funciones trigonométricas que se definen geométricamente, que rara vez se utilizan más. Muchos de estos se resumen en esta imagen:
Todos estos tienen sus usos en determinadas circunstancias. Por ejemplo, la mitad de la versado sinusoidal (o haversine) es útil para determinar la distancia ortodrómica entre los puntos, lo cual es muy útil si usted está tratando de navegar. Nosotros no necesitamos la haversin, pero es muy útil, y reduce la notación un poco al menos, en un contexto específico. Las otras funciones trigonométricas son similares—personalmente, prefiero escribir $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \tan(t) = \sec(t)^2 $$ de $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{1}{\cos(t)^2}. $$
EDIT: Esta respuesta fue escrito cuando la pregunta parecía estar preguntando acerca de la "necesidad" de la definición de la secante y cotangente funciones. Parece que el original interrogador había una mucho más generales de la pregunta en la mente, es decir, ¿por qué necesitamos definiciones? La única respuesta posible que, creo, es debido a que las matemáticas sería imposible sin "definiciones". Trabajando bajo la suposición de que el original interrogador es en serio, una respuesta parcial es el siguiente:
Una gran parte de la matemática es el lenguaje que utilizamos para comunicar ideas matemáticas. Nos podría, supongo, nunca definir nada más allá de los axiomas básicos, pero entonces no podríamos hacer nada, y no tienen ninguna esperanza de comunicar nuestras ideas a los demás. Si no definimos un derivado, ¿cómo podemos describir el movimiento de un planeta? Sería cripplingly inconveniente si nunca podríamos escribir $3$, y siempre tenía que escribir $\{ \{\}, \{\{\}, \{\{\}\} \}, \{\{\}, \{\{\}, \{\{\}\}\} \}$. No sólo es muy difícil de leer (lo que realmente quieres para comprobar que tengo todos mis comas y los apoyos a la derecha?), es terriblemente ineficiente. Y esto es sólo para describir un relativamente pequeño número natural. Sólo se pone peor a partir de aquí!
El punto es que las definiciones nos permiten encapsular complicado ideas en una breve colección de símbolos (es decir, palabras) que nos permiten hacer otras deducciones. Las definiciones se encuentran en el corazón de las matemáticas. Nada podemos hacer sin ellos.
Puede también preguntar por qué definimos como "$8$" cuando sólo podríamos escribir $1+1+1+1+1+1+1+1$.
Es conveniente tener nombres más cortos para las cosas que acostumbrarse mucho. Es cierto que, "$8$" es mucho más cómodo (y mucho más a menudo utilizado) que algo como $\sec$, por lo que siempre hay espacio para discutir acerca de si un determinado abreviatura es realmente útil.
Las definiciones han existido durante mucho tiempo y, básicamente, la razón por la que escribo $\tan(x) =\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ o $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$ etc. es porque en aquellos días la gente se miraba en trigonométricas de los valores de una tabla, no el uso de calculadoras. Así es más fácil buscar a decir $\sec(x)$ valores de calcular la $\frac{1}{\cos(x)}$ a fin de obtener la misma respuesta. Con el tiempo y el uso de estos términos atascado y han sido incorporados como parte de la familia.
Yo voy a dejar algunos enlaces a los vídeos que expliquen mejor, uno es de uno de mis canales favoritos 3Blue1Brown (Tatuajes En Matemáticas) y la otra es la de un tipo increíble llamado Simon Clark. (¿Por qué $\sin$ $\cos$ no significa nada).
Edit: Olvidé mencionar, para ser honesto $\sin(x)$ $\cos(x)$ son la única trigonométricas de los valores que necesita, el resto se pueden derivar. Pero el mundo es a veces un verdadero miedo a cabo sin $\tan(x)$, $\cot(x)$, $\sec(x)$ y $\operatorname{cosec}(x)$.
En términos de su rango de valores en $[-\infty,\,\infty]$, $\sin$ es análogo a $\tanh$, $\cos$ a $\mathrm{sech}$ etc. Estas relaciones se formalizan con la Gudermannian función, que en particular se conecta circular de funciones trigonométricas para hiperbólico sin números complejos. Tener "innecesario" el nombre de la función no sólo hace que estas relaciones sean más nítidas, sino que también ofrece funciones de los socios con el mismo rango, en lugar de comparar una función de la inversa de la otra.
De hecho, es sólo una definición para manejar expresiones trigonométricas y funciones en otras formas, o para dar un particular geométrica significado de alguna expresión como, por ejemplo,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$.
El básico y el foundamental funciones trigonométricas se $\sin x$ $\cos x$ y los demás son derivados de estos.
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